如圖，△ABC中，AB=AC，E是AB上一點，F是AC延長線上一點，且BE=CF，若EF與BC相交於D，求證：DE=DF．

證明：作FH∥AB交BC延長線於H，
∵FH∥AB，
∴∠FHC=∠B．
又∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB．
又∵∠ACB=∠FCH，
∴∠FHE=∠FCH．
∴CF=HF．
又∵BE=CF，
∴HF=BE．
又∵FH∥AB，
∴∠BED=∠HFD，
在△DBE與△FHE中，

∠B＝∠FHC
BE＝HF
∠BED＝∠HFD ，
∴△DBE≌△FHE（ASA）．
∴DE=DF．

CD為圓O的弦,在CD上取CE=DF,連線OE,OF,並延長交圓O於點A,B. (1)試判斷△OEF的形狀,並說明理由（2）求證：弧ac=弧bd.

1) OC=OD,三角形OCD是等腰三角形,角OCD=角ODC；又因為CE=FE,所以三角形OCE和三角形ODF全等,所以OE=OF.
所以三角形OEF也是等腰三角形.
2）因為三角形OCE和三角形ODF全等,因此角DOB=角COA；
三角形BDO和三角形COA有兩條邊相等：OD=OB=OA=OC,且角DOB=角COA；所以兩個三角形全等.
所以BD=AC
所以BD和AC對應的弧ac=bd

已知：如圖,在圓o中,弦AB=CD,E、F分別是AB、CD上的點,且BE=DF,求證：OE=OF

證明：
作OM⊥AB於M,ON⊥CD於N
則BM=½AB,DN=½CD【垂徑定理】
∵AB=CD
∴BM=DN
OM=ON【弦相等,弦心距相等】
∵BE=DF
∴EM=FN
又∵∠OME=∠ONF=90º
∴⊿OME≌⊿ONF（SAS）
∴OE=OF

26、如圖,在△ABC中,ABBC於點D,交AC於點E,過點D作DF⊥AC,垂足為F.=AC,以AB為直徑的圓O交 26、如圖,在△ABC中,AB=AC,以AB為直徑的圓O交BC於點D,交AC於點E,過點D作DF⊥AC,垂足為F. （1）求證：DF為⊙O的切線；

(1)在RT三角形DFC中,角FDC+角FCD=90度連線OD,三角形BOD為等腰三角形角ODB=角ABC而:三角形ABC為等腰三角形角ABC=角FCD所以:角ODB+角FDC=角FDC+角FCD=90度角ODF=180度-90度=90度DF為⊙O的切線(2)當△ABC是等邊三角形時...

如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O分別交BC、AC於D、E兩點，過點D作DF⊥AC，垂足為F．（1）求證：DF是⊙O的切線；（2）若 AE= DE，DF=2，求⊙O的半徑．

（1）證明：連線OD，如圖，
∵AB=AC，
∴∠C=∠B，
∵OD=OB，
∴∠B=∠1，
∴∠C=∠1，
∴OD∥AC．
∴∠2=∠FDO，
∵DF⊥AC，
∴∠2=90°，
∴∠FDO=90°，
∵OD為半徑，
∴FD是⊙O的切線；
（2）∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，
∵AC=AB，
∴∠3=∠4．
∴弧ED=弧DB
而弧AE=弧DE，
∴弧DE=弧DB=弧AE，
∴∠B=2∠4，
∴∠B=60°，
∴∠C=60°，△OBD為等邊三角形，
在Rt△CFD中，DF=2，∠CDF=30°，
∴CF=
3
3DF=2
3
3，
∴CD=2CF=4
3
3，
∴DB=4
3
3，
∴OB=DB=4
3
3，
即⊙O的半徑為4
3
3．

已知：如圖，以等邊三角形ABC一邊AB為直徑的⊙O與邊AC、BC分別交於點D、E，過點D作DF⊥BC，垂足為F （1）求證：DF為⊙O的切線；（2）若等邊三角形ABC的邊長為4，求DF的長；（3）求圖中陰影部分的面積．

證明：（1）連線DO．
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠A=∠C=60°．
∵OA=OD，
∴△OAD是等邊三角形．
∴∠ADO=60°，
∵DF⊥BC，
∴∠CDF=90°-∠C=30°，（2分）
∴∠FDO=180°-∠ADO-∠CDF=90°，
∴DF為⊙O的切線；（3分）
（2）∵△OAD是等邊三角形，
∴AD=AO=1
2AB=2．
∴CD=AC-AD=2．
Rt△CDF中，
∵∠CDF=30°，
∴CF=1
2CD=1．
∴DF=
CD2−CF2＝
3；（5分）
（3）連線OE，由（2）同理可知CE=2．
∴CF=1，
∴EF=1．
∴S直角梯形FDOE=1
2（EF+OD）•DF=3
3
2，
∴S扇形OED=60π×22
360=2π
3，
∴S陰影=S直角梯形FDOE-S扇形OED=3
3
2-2π
3．（7分）

如圖,弦AB和絃CD垂直於E,又F為ED上的一點,且CE=EF,延長AF交BD於H.求證AH垂直於BD.快.

證明：連結AC.
CE=EF,AE是△ACF中線,且AE⊥CF,同時是高.
所以△ACF是等腰三角形,∠ACF=∠AFC
∠ACF和∠B所對的都是弧AD,所以∠ACF=∠B
則∠ACF=∠B=∠AFC
∠B+∠BAH=∠AFC+∠BAH=90°
∴∠AHB=90° AH⊥BD

如圖,弦AB和絃CD垂直於E,又F為ED上的一點,且CE=EF,延長AF交BD於H. 求證：AH垂直BD.

沒圖,A、B和D的位置不確定,就不能解了.

已知：如圖，AB是⊙O的直徑，AD是弦，OC垂直AD於F交⊙O於E，連線DE、BE，且∠C=∠BED．（1）求證：AC是⊙O的切線；（2）若OA=10，AD=16，求AC的長．

（1）證明：∵∠BED=∠BAD，∠C=∠BED，∴∠BAD=∠C．（1分）∵OC⊥AD於點F，∴∠BAD+∠AOC=90°．（2分）∴∠C+∠AOC=90°．∴∠OAC=90°．∴OA⊥AC．∴AC是⊙O的切線．（4分）（2）∵OC⊥AD於點F，∴AF=12AD=8．（...

如圖,已知AB為圓O的直徑,BD為圓O的切線,過點B的弦BC垂直OD交圓O於點C,垂直為M.當BC等於BD等於6cm時, 求圖中陰影部分的面積（結果不敢就近值）圓的一半在一半，就是半圓的一半是陰影

證明：連線OC．
∵OD⊥BC,O為圓心,
∴OD平分BC．
∴DB=DC,
在△OBD與△OCD中,
OB=OCDO=DODB=DC∴△OBD≌△OCD．（SSS）
∴∠OCD=∠OBD．
又∵AB為⊙O的直徑,BD為⊙O的切線,
∴∠OCD=∠OBD=90°∴CD是⊙O的切線
∵DB、DC為切線,B、C為切點,
∴DB=DC．
又DB=BC=6,
∴△BCD為等邊三角形．
∴∠BOC=360°-90°-90°-60°=120°,
∠OBM=90°-60°=30°,BM=3．
∴OM=BM•tan30°=3,OB=2OM=23．
∴S陰影部分=S扇形OBC-S△OBC
=120×π×(2
3) 2360-12×6×
3
=4π-33（cm2）．

如圖，△ABC中，AB=AC，E是AB上一點，F是AC延長線上一點，且BE=CF，若EF與BC相交於D，求證：DE=DF．