在正方體ABCD-A1B1C1D1的各頂點與各棱中點共20個點中，任取2點連成直線，在這些直線中任取一條，它與對角線BD1垂直的概率為（） A. 21166B. 21190C. 18190D. 27166

在正方體ABCD-A1B1C1D1的各頂點與各棱中點共20個點中，任取2點連成直線，在這些直線中任取一條，它與對角線BD1垂直的概率為（） A. 21166B. 21190C. 18190D. 27166

由題意知本題是一個古典概型，從20個點中取2個，共C202=190，但每條棱上3點任取2個是重複的，∴分母為190-12C32+12=166，要與BD1垂直，則應與面A1DC1平行或在其面內，與A1C1平行或重合的有9條，共27條，∴P=27166.故選D.

在正方體ABCD-A1B1C1D1中，（1）求證平面AA1C1C垂直於平面BDC1（2）求AA1與平面BDC1所成的角的正切值

（1）∵A1A⊥BD AC⊥BD
∴BD⊥平面AA1C1C
∴平面AA1C1C⊥平面BDC1
（2）連接AC交BD與O連接C1O
過C點做C1O的垂線垂足為E
因為CE在平面AA1C1C內所以BD⊥CE
∴CE⊥平面BDC1∴CC1與平面BDC1所成的角即∠CC1E
∵AA1平行於CC1
∴AA1與平面BDC1所成的角即CC1與平面BDC1所成的角
設正方體邊長為1
則CE=根號3/3
C1E=根號6/3
tg∠CC1E =根號2/2

正方體ABCD-A1B1C1D1中，則AB1與CD所成的角是______.

∵CD‖B1A1，∴AB1與CD所成的角是∠AB1A1，∵∠AB1A1=45°，∴AB1與CD所成的角是45°.故答案為：45°.

在正方體ABCD-A1B1C1D1中M，N分別是CD，C1C的中點則異面直線A1M與DN所成角大小

以D為座標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系.設棱長為2，
則D（0,0,0），N（0,2,1），M（0,1,0），A1（2,0,2），DN=（0,2,1），A1M=（-2,1，-2）
DN•；A1M=0，所以DN⊥A1M，即A1M⊥DN，異面直線A1M與DN所成的角的大小是90°，
故答案為：90°.