已知平行六面體ABCD-A'B'C'D'，E，F，G，H分別是棱A'D'，D'C'，C'C和AB的中點，求證E，F，G，H，四點共面

已知平行六面體ABCD-A'B'C'D'，E，F，G，H分別是棱A'D'，D'C'，C'C和AB的中點，求證E，F，G，H，四點共面

連接A'B，BC'，A'C'，
連接AC，CD'，AD'.
易證：AC//A'C'，A'B//D'C.
知平面A'BC'//ACD'（一平面上的兩條相交直線與另一平面上的兩條相交直線分別平行，則這兩平面互相平行）
又易證：EF//A'C'//AC，FG//A'B//D'C.知平面EFG//平面A'BC'//ACD'.
且知：平面EFG與其餘兩平面等距離.（因為，比如，A'D'被它平分）.
由此，設M，N分別為平面A'BC'和ACD'上的點，則：平面EFG將平分線段MN.
而A，B就是這樣的兩點，故其中點H必在平面EFG上.
即E，F，G，H四點共面.

平行六面體中ABCD-A1B1C1D1中，設向量AC1等於X倍的向量AB加上2Y倍的向量BC加上3Z倍的向量C1C
那麼X+y+z等於多少？

向量AC1等於X倍的向量AB加上2Y倍的向量BC加上3Z倍的向量C1C
而，向量AC1=向量AB+向量BC1，
向量BC1=向量BC+向量CC1，向量CC1=-向量C1C，
則，向量AC1=向量AB+向量BC-向量C1C，
即有，
X=1,2Y=1,3Z=-1.
X=1，Y=1/2，Z=-1/3，
X+Y+Z=（1+1/2-1/3）=（6+3-2）/6=7/6.

在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，試求X AC+AB1+AD1=xAC1（都是向量除x）

AC=AB+AD
AB1=AA1+AB
AD1=AD+AA1
所以AC+AB1+AD1=2（AB+AD+AA1）=2AC1
又因為AC+AB1+AD1=xAC1
所以x＝2

在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F分別是CD，BC的中點，求AE，C1F所成的角的余弦值

連接A與A1D1的中點G，GE，GD
∵CD⊥面AA1DD1
∴DE⊥DG AG‖C1F
∴∠GAE即為AE，C1F所成的角
設正方體邊長為2
則AG=AE=√5 EG=√[（√5）^2+1]=√6
∴cos∠GAE=[（√5）^2+（√5）^2-（√6）^2]/2√5*√5=2/5