在正方體ABCD-A1B1C1D1中，平面A1BD與平面C1BD所成二面角的余弦值為（） A. 12B. 13C. 32D. 33

在正方體ABCD-A1B1C1D1中，平面A1BD與平面C1BD所成二面角的余弦值為（） A. 12B. 13C. 32D. 33

取BD中的O，連接，OB，OA1，A1C1，∵在正方體ABCD-A1B1C1D1中，設棱長為1，∴A1C1=2，OB=OA1=62，根據正方體的幾何性質得出BD⊥OA，BD⊥OC，BD⊥AA1，BD⊥CC1，∴BD⊥面OAA1，BD⊥平面OCC1，OA1⊂面OAA1，OC1⊂平面OCC1，∴BD⊥OA1，BD⊥OC1，∴∠A1OC1為平面A1BD與平面C1BD所成二面角的夾角，∴在△A1OC1中，cos∠A1OC1=32+32−22×62×62=13故選：B

在棱長為1的正方體AC1中，則平面C1BD與平面CB1D1所成角余弦值為___.

設正方形CDD1C1的對角線C1D、CD1交點為M，正方形CBB1C1的對角線B1C、C1B交點為N，則平面BDC1和平面B1D1C的交線為MN，∵正方體AC1的棱長為1，則正方形對角線C1D=2，C1M=22，C1N=22，MN是三角形C1DB的中比特線，MN=BD2=22，三角形C1MN是正三角形，同理三角形CMN也是正三角形，取MN中點E，連接CE和C1E，則CE⊥MN，C1E⊥MN，故∠C1EC是平面C1BD與平面CB1D1所成二面角的平面角，C1E=CE=32MN=64，在三角形C1EC中，CC1=1，根據余弦定理，CC12=C1E2+CE2-2•CE•C1Ecos∠C1EC，∴cos∠C1EC=-13，則平面C1BD與平面CB1D1所成角余弦值為-13.故答案為：-13

如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F分別為棱AB，CC1的中點，在平面ADD1A1內且與平面D1EF平行的直線（）
A.不存在B.有1條C.有2條D.有無數條

由題設知平面ADD1A1與平面D1EF有公共點D1，由平面的基本性質中的公理知必有過該點的公共線l，在平面ADD1A1內與l平行的線有無數條，且它們都不在平面D1EF內，由線面平行的判定定理知它們都與面D1EF平行，故選：D

如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1中，側面對角線AB1、BC1上分別有兩點E、F，且B1E=C1F.求證：EF‖平面ABCD.

證法一：分別過E、F作EM⊥AB於點M，FN⊥BC於點N，連接MN.∵BB1⊥平面ABCD，∴BB1⊥AB，BB1⊥BC.∴EM‖BB1，FN‖BB1.∴EM‖FN.又B1E=C1F，∴EM=FN.故四邊形MNFE是平行四邊形.∴EF‖MN.又MN在平面ABCD中，∴EF‖平面ABCD.證法二：過E作EG‖AB交BB1於點G，連接GF，則B1EB1A=B1GB1B.∵B1E=C1F，B1A=C1B，∴C1FC1B=B1GB1B.∴FG‖B1C1‖BC.又∵EG∩FG=G，AB∩BC=B，∴平面EFG‖平面ABCD.而EF在平面EFG中，∴EF‖平面ABCD.