若方程x2+y2+4mx-2y+4m2+4m=0表示圓，則實數m的取值範圍是

若方程x2+y2+4mx-2y+4m2+4m=0表示圓，則實數m的取值範圍是

解由x2+y2+4mx-2y+4m2+4m=0
得x2+4mx+4m2+y2-2y+4m=0
即（x-2m）^2+（y-1）^2=1-4m
由方程x2+y2+4mx-2y+4m2+4m=0表示圓
則1-4m＞0
即m＜1/4.

經過M（2,1），並與圓x2+y2-6x-8y+24=0相切的直線方程式是

（x-3）²；+（y-4）²；=1
圓心（3,4），半徑1
圓心到切線距離等於半徑
x=2時滿足
斜率存在
y-1=k（x-2）
kx-y+1-2k=0
|3k-4+1-2k|/√（k²；+1）=1
k²；-6k+9=k²；+1
k=4/3
所以x-2=0和4x-3y-5=0

經過點M（2,1）並且與圓x^2+y^2-6x-8y+24=0相切直線方程是
答案是4x-3y-5=0，x=2求完整解題過程

x^2+y^2-6x-8y+24=0
（x-3）^2 +（y-4）^2 = 1，圓心為（3,4），半徑為1
設直線方程為y-1 = k（x-2），kx-y+1-2k=0
圓心到直線的距離為
|3k -4 + 1-2k| /根號（k^2+1）= |k-3| /根號（k^2+1）=半徑= 1
k = 4/3
4x - 3y - 5 = 0或x=2（此時k為無窮大）

與方程（1+λ）x2+（1+λ）y2+6x-8y-25（λ+3）=0所表示的所有圓都相切的直線方程

與方程（1+λ）x²；+（1+λ）y²；+6x-8y-25（λ+3）=0所表示的所有圓都相切的直線方程
（1+λ）[x²；+6x/（1+λ）]+（1+λ）[y²；-8/（1+λ）]-25（λ+3）=0
（1+λ）[x+3/（1+λ）]²；+（1+λ）[y-4/（1+λ）]²；-25/（1+λ）-25（λ+3）=0
[x+3/（1+λ）]²；+[y-4/（1+λ）]²；-25/（1+λ）²；-25（λ+3）/（1+λ）=0
[x+3/（1+λ）]²；+[y-4/（1+λ）]²；=[5（λ+2）/（1+λ）]²；
圓心（-3/（1+λ），4/（1+λ）），半徑R=5（λ+2）/（1+λ）
由於[4/（1+λ）/[-3/（1+λ）]=-4/3=常數，∴所有圓的圓心都在過原點的直線y=-（4/3）x上.
圓心到原點的距離d=5/（1+λ），R-d=5（λ+2）/（1+λ）-5/（1+λ）=（5λ+5）/（1+λ）=5=常數，
故所有圓都內切於點（3，-4），∴與所有圓都相切的公切線方程為：y=（3/4）（x-3）-4=（3/4）x-25/4