已知數列{an}的前n項和為Sn，且a1+2a2+3a3……

已知數列{an}的前n項和為Sn，且a1+2a2+3a3……

已知數列{an }的前n項和為Sn，且a1+2a2+3a3+…+nan=（n-1）Sn+2n
求an
a1+2a2+3a3+…+nan=（n-1）sn+2n（n€；N*）
（1）先求a1：
n=1，
∴a1=2
（2）利用遞推式：
∵a1+2a2+3a3+……+（n-1）a（n-1）+nan=（n-1）Sn+2n①
∴a1+2a2+3a3+……+（n-1）a（n-1）=（n-2）S（n-1）+2（n-1）②
①-②：
nan =（n-1）Sn-（n-2）S（n-1）+2n
即n[S（n）-S（n-1）]=（n-1）Sn-（n-2）S（n-1）+2
∴S（n）=2S（n-1）+2
∴S（n）+2=2[S（n-1）+2]
∴{Sn+2}是以S1+2=2+2=4為首項，2為公比的等比數列，
∴Sn+2=4*2^n=2^（n+1）
∴Sn=-2+2^（n+1）
∴n≥2時，an=Sn-S（n-1）=2^（n+1）-2^（n）=2^n
n=1同樣滿足上式
∴an=2^n

已知數列{an}滿足a1+2a2+3a3+…+nan=n（n+1）（n+2），則它的前n項和Sn=______.

∵a1+2a2+3a3+…+nan=n（n+1）（n+2），①∴a1+2a2+3a3+…+（n-1）an-1=（n-1）n（n+1），②①-②，得nan=3n（n+1），∴an=3n+3.∴Sn=a1+a2+a3+…+an=（3×1+3）+（3×2+3）+（3×3+3）+…+（3n+3）=3（1+2+3+…+n）+3n=3×n（n+1）2+3n=3n2+9n2.故答案為：3n2+9n2.

設數列an的前n項和為Sn已知a1+2a2+3a3+……+nan=（n-1）Sn+2n
抽去{an}中a1，a4，a7.a（3n-2），.餘下的順序不變組成{bn}，若{bn}前n項和為Tn，求證12/5＜T（n+1）/Tn≤11/3

由a1+2a2+3a3+……+nan=（n-1）Sn+2n可知：n=1時：a1=（1-1）s1+2，解得：a1=2；n=2時：a1+2a2=（2-1）s2+4，即2+2a2=（2+a2）+4，解得：a2=4.由題意，有：a1+2a2+3a3+……+nan=（n-1）Sn+2na1+2a2+3a3+……+nan+（n+1）a（n+1）=[（n+1…

數列{An}滿足An=3An-1+3^n-1（n≥2），其中A4=365.求證數列{an-3^n}不是等差數列

An=3An-1+3^（n-1）
兩邊同除以3^（n-1）得
3*An/3^n=3An-1/（3^n-1）+1
An/3^n=An-1/（3^n-1）+1/3
則An/3^n為等差數列，公差為1/3
則An/3^n=A1/3+（n-1）/3
則An=[A1/3+（n-1）/3]*3^n
則A4=[A1/3+（4-1）/3]*3^4=365，解得A1=284/27
則An=[284/81+（n-1）/3]*3^n=（n+257/27）*3^（n-1）
則An-3^n=（n+257/27）*3^（n-1）-3^n=（n+176/27）*3^（n-1）
則An-3^n-[A（n-1）-3^（n-1）]
=（n+176/27）*3^（n-1）-（n-1+176/27）*3^（n-2）
=（2n+379/27）*3^（n-2）不為常數，而是關於n的函數，
囙此An-3^n不是等差數列.