如圖，△ABC中，∠ACB=90°，以AC為底邊作等腰三角形△ABC，AD=CD=10，過點D作DE⊥AC，垂足為F，DE與AB相交於點E，連接CE.（1）求證：AE=CE=BE；（2）若AB=15cm，BC=9cm，P是射線DE上的一點.則當DP為何值時，△PBC的周長最小，並求出此時△PBC的周長.

如圖，△ABC中，∠ACB=90°，以AC為底邊作等腰三角形△ABC，AD=CD=10，過點D作DE⊥AC，垂足為F，DE與AB相交於點E，連接CE.（1）求證：AE=CE=BE；（2）若AB=15cm，BC=9cm，P是射線DE上的一點.則當DP為何值時，△PBC的周長最小，並求出此時△PBC的周長.

（1）證明：∵DE⊥AC，∠ACB=90°，∴EF‖BC，又∵△ADC是等腰三角形，∴點F是AC的中點（等腰三角形的三線合一的性質），∴EF是△ABC的中位線，即可得點E是斜邊AB的中點，∴在RT△ABC中可得，AE=CE= BE；（2）∵△ABC中，∠ACB=90°，AB=15cm，BC=9cm，∴AC=AB2−BC2=152−92=12，∵AD=CD=10cm，DE⊥AC，∴F是AC的中點，∴EF=12BC=12×9=4.5，AF=12AC=12×12=6，∴DF=AD2−AF2=102−62=8，∴DE=DF+EF=8+4.5=12.5cm，根據軸對稱求最短路徑的知識，可得當點P與點E重合的時候PB+PC最小，也即△PBC的周長最小，此時PB=PC=12AB=152，即DP=DE=12.5cm時，△PBC的周長最小，∴△PBC的最小周長=PB+PC+BC=15+9=24cm.

△ABC和△DBC是兩個有公共斜邊的直角三角形，且AB=AD=AC=2，CD=√6.若P是AC的中點，求二面角P-BD-C的正切值
計算可以不用說，能詳細講講思路麼？

在平面ABC內作PE垂直BC，交BC於E，則PE=EC=PC*sin45度=（根號2）/2
而：BC=2（根號2），所以：BE=BC-EC=（3/2）（根號2），BE/BC=3/4
在平面ABD內作EF垂直BD，交BD於F，則EF平行CD，EF/CD=BE/BC=3/4
EF=（3/4）CD=（3/4）（根號6）
可以證明BD垂直PE
（設M為BC中點，N為BD中點，則：MN平行CD，BD垂直MN；而ABD為等腰三角形，所以BD垂直AN；囙此，BD垂直平面AMN，BD垂直AN；而在三角形ABC中，顯然AM垂直BC，AM平行PE，囙此，BD垂直PE）
囙此，BD垂直平面PEF，二面角P-BD-C =角PFE
在三角形PBD中，PF垂直BD，囙此，PF=（PD^2-FD^2）^（1/2）
其中，PD可由三角形ADC解出（三邊2,2，√6，P是AC中點）；FD可由三角形ABD解出（FD/BD=EC/BC，BD=（BC^2-CD^2）^（1/2））
於是，在三角形PFE中，我們求出了PF，PE，FE，則用餘玄定理可求出cos（角PFE），於是可以求出，sin（角PFE），tan（角PFE）

如圖，△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分別為D、E，AD、CE交於點H，請你添加一個適當的條件：______，使△AEH≌△CEB.

∵AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分別為D、E，∴∠BEC=∠AEC=90°，在Rt△AEH中，∠EAH=90°-∠AHE，又∵∠EAH=∠BAD，∴∠BAD=90°-∠AHE，在Rt△AEH和Rt△CDH中，∠CHD=∠AHE，∴∠EAH=∠DCH，∴∠EAH=90°-∠CHD=∠BCE，所…

三角形ABC中，AD垂直BC，CE垂直AB，垂足分別為D，AD，CE交於點H.當角BAC等於多少時，三角形AEH全等於三角形CEB

45°.理由如下：
由AD⊥BC，CE⊥AB，
∴∠EAH+∠B=90°，
及∠ECB+∠B=90°，
∴∠EAD=∠ECB.
當AE=CE時，
△EAH≌△ECB，（A，S，A），
∴△AEC是等腰直角三角形，
∴∠BAC=45°.

如圖，△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分別為D、E，AD、CE交於點H，請你添加一個適當的條件：______，使△AEH≌△CEB.

∵AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分別為D、E，∴∠BEC=∠AEC=90°，在Rt△AEH中，∠EAH=90°-∠AHE，又∵∠EAH=∠BAD，∴∠BAD=90°-∠AHE，在Rt△AEH和Rt△CDH中，∠CHD=∠AHE，∴∠EAH=∠DCH，∴∠EAH=90°-∠CHD=∠BCE，所…

如圖，在△ABC中，AB=AC，角A=120°，AB的垂直平分線交BC於M，交AB於E，AC的垂直平分線交AC於F，求證：BM=MN=NC.

證明：∵AB=AC，∠A=120º；∴∠B=∠C=（180º；-120º；）÷2=30º；連接AM，AN∵ME是AB的垂直平分線∴BM=AM∴∠B=∠MAB=30º；∵NF是AC的垂直平分線∴AN=CN∴∠C=∠NAC=30º；∴∠MAN=120º；-∠MAB-…

如圖，△ABC中，BC=2AC，∠DBC=∠ACB=120°，BD=BC，CD交邊AB於點E.（1）求∠ACE的度數.（2）求證：DE=3CE.

（1）∵BD=BC（已知），∴∠D=∠BCD（等邊對等角）.又∵∠DBC=120°，∠D+∠BCD+∠DBC=180°（三角形內角和定理），∴∠D=∠BCD=30°.∵∠ACB=120°，∠ACB=∠ACE+∠BCD，∴∠ACE=90°；（2）證明：過點B作BM⊥DC…

已知：在△ABC中，BC=2AC，∠DBC=∠ACB，BD=BC，CD交線段AB於點E.當角ACB=120°，求證DE=3CE

∵∠DBC=∠ACB=120°，BD=BC
∴∠D=∠BCD=30
∴∠ACD=90
過B作BM⊥DC於M，DM＝MC.BM＝1／2BC
∵AC=1/2BC
∴BM=AC
∵∠BMC＝∠ACM＝90
∠MEB＝∠CEA
∴BME≌ACE
∴ME＝CE＝1/2CE
DE=3CE

在△ABC中，BC=2AC，∠DBC=∠ACB=120°，BD=BC，CD交邊AB於點E，求∠ABC的度數

題外話：
在△ABC中，BC=2AC，∠ACB=120°.有這兩個條件就可以求∠ABC的度數了
怎麼中間還那麼多廢話…
取BD的中點M，連接AM
由於BC=2AC，有CA=CM=MB
所以△AMC是以∠ACM為頂角的等腰三角形且∠ACM=120°
所以∠CMA=∠CAM=30°
設AC=1，則CA=CM=MB=1，則AM=√3（根號3，此處怕顯示不出來）
則在△AMB中，∠BMA=150°，MB=1，AM=√3（根號3，此處怕顯示不出來）
由余弦定理，AB=√7（根號7，此處怕顯示不出來）
繼續使用余弦定理
∠ABC=∠ABM=arccos（5√7/14）

在三角形ABC中，AC=BC，角C=20度，D，E分別為邊BC，AC上的點，若角CAD等於20度，角CBE等於30度，求角ADE
只能用全等，不能用相似

在三角形CAB內部作∠BAF＝20°，AF與CB交於F
因為CA＝CB，∠C＝20°
所以∠CAB＝∠CBA＝∠ABF＝80°
所以∠AFB＝80°
所以∠AFB＝∠ABF
所以AB＝AF
所以∠EAF＝60°
因為∠EBA＝50°
所以∠BEA＝50°
所以∠EBA＝∠BEA
所以AB＝AE
所以AE＝AF
所以△AEF是等邊三角形
所以AF＝EF，∠AFE＝60°
所以∠DFE＝40°
因為∠DAF＝60°－20°＝40°，∠AFD＝100°
所以∠ADF＝40°
所以∠ADF＝∠DAF
所以AF＝DF
所以DF＝EF
所以∠EDF＝∠DEF＝70°
所以∠ADE＝70°－40°＝30°
江蘇吳雲超解答供參考！