設橢圓中心在原點o，焦點在x軸上，離心率為√2/2，橢圓上一點p到兩焦點距離的和等於√6，設橢圓中心在原點o，焦點在x軸上，離心率為√2/2，橢圓上一點p到兩焦點距離的和等於√6，（1）若直線x+y+M=0交橢圓於兩點A，B，且OA⊥OB，求M的值？

設橢圓中心在原點o，焦點在x軸上，離心率為√2/2，橢圓上一點p到兩焦點距離的和等於√6，設橢圓中心在原點o，焦點在x軸上，離心率為√2/2，橢圓上一點p到兩焦點距離的和等於√6，（1）若直線x+y+M=0交橢圓於兩點A，B，且OA⊥OB，求M的值？

由題意2a=√6，c/a=√2/2，
所以a=√6/2，c=√3/2，b²；=a²；-c²；=3/4，
橢圓方程為x²；/（3/2）+y²；/（3/4）=1，即2x²；+4y²；=3①，
由直線x+y+m=0，得y=-x-m②，
將②代入①，整理得6x²；+8mx+4m²；-3=0，
設A（x1，y1），B（x2，y2）
則x1+x2=-4m/3，x1x2=（4m²；-3）/6
y1y2=（-x1-m）（-x2-m）=x1x2+m（x1+x2）+m²；=（2m²；-3）/6，
因為OA⊥OB，所以x1x2+y1y2=0，即（4m²；-3）/6+（2m²；-3）/6=0，
所以m²；=1，即m=1或m=-1.

設橢圓的中心再原點O，焦點再x軸上，離心率為√6/3，橢圓上的一點P到兩焦點的距離的和等於6，設該橢圓的左右兩個焦點為F1和F2
（1）求該橢圓的標準方程：
（2）如果PF1垂直PF2，求三角形F1PF2的面積，並求此時P的座標

x^2/a^2+y^2/b^2=1
P到兩焦點的距離的和等於6，
所以2a=6
a=3
e=c/a=√6/3
c=√6
所以b^2=a^2-c^2=3
x^2/9+y^2/3=1
F1（-√6,0），F2（√6,0）
F1F2=2√6
P（m，n）
PF1垂直PF2
所以PF1^2+PF2^2=F1F2^2
（m+√6）^2+n^2+（m-√6）^2+n^2=24
2m^2+2n^2=12
m^2+n^2=6
P在橢圓上
所以m^2/9+n^2/3=1
m^2+3n^2=9
所以n^2=3/2，m^2=9/2
|n|=√6/2
所以面積等於|F1F2|*|n|/2=3
P有四解（3√2/2，√6/2）
（-3√2/2，√6/2）
（3√2/2，-√6/2）
（-3√2/2，-√6/2）

中心在原點，兩個焦點在x軸上的橢圓有一點P（3，y），若P點到兩焦點的距離分別為6.5和3.5，求此橢圓方程.

依題意，設焦點座標為F1（-c，0），F2（c，0）（c>0）
|PF1| = 6.5；|PF2| =3.5 ==> 2a =|PF1| + |PF2| = 10 ==> a=5；
|PF1|²；=（3+c）²；+ y²；=6.5²；；----（1）
|PF1|²；=（3-c）²；+ y²；=3.5²；；----（2）
（1）-（2）得：
12c = 30 ==> c = 5/2；
囙此b²；= a²；-c²；= 75/4
橢圓方程為：
x²；/25 + y²；/（75/4）= 1；

橢圓的中心在原點，焦點在Y軸上，焦距為4，離心率為三分之二，求橢圓方程.

焦距為4，說明C=2.
離心率=c/a，所以a=3.
b=根號下a^2-c^2=根號5.
焦點又在Y軸上.
方程就出來了唄.
x^2/5+y^2/9=1.