已知曲線C:x2+y2-2x-4y+m=0.（1）當m為何值時，曲線C表示圓；（2）若曲線C與直線x+2y-4=0交於M、N兩點，且OM⊥ON（O為座標原點），求m的值.

已知曲線C:x2+y2-2x-4y+m=0.（1）當m為何值時，曲線C表示圓；（2）若曲線C與直線x+2y-4=0交於M、N兩點，且OM⊥ON（O為座標原點），求m的值.

（1）由D2+E2-4F=4+16-4m=20-4m＞0，解得m＜5； ； ； ； ； ；（4分）（2）設M（x1，y1），N（x2，y2），聯立直線x+2y-4=0與圓的方程x2+y2-2x-4y+m=0，消去y，得：5x2-8x+4m-16=0，由韋達定理得：x1+x2＝85①，x1•x2＝4m−165②，又由x+2y-4=0得y＝12（4−x），由OM⊥ON得x1x2 +y1y2=0，∴x1x2+y1y2＝x1x2+14（4−x1）•（4−x2）＝54x1x2−（x1+x2）+4＝0，將①、②代入上式得 ；m＝85，檢驗知滿足△＞0，故m＝85為所求. ；（13分）

已知與曲線C:X＾2＋Y＾2－2X－2Y＋1＝0相切的直線L交X軸.Y軸於A.B兩點.O為原點.絕對值OA＝a，絕對值OB=b（a大於2，b大於2）
（1）求證：（a-2）（b-2）=2
（2）求線段AB中點的軌跡方程
（3）求三角形AOB面積的最小值

（1）由曲線C:x^2+y^2-2x-2y+1=0得，曲線C方程可改寫為（x-1）^2+（y-1）^2=1^2，故C為以（1,1）為圓心，1為半徑的圓.
直線AB的方程可寫為y/b+x/a=1，化簡為bx+ay-ab=0
圓心到直線AB的距離d=（a*1+b*1-ab）的絕對值/根號（a^2+b^2）=1
化簡得（a-2）（b-2）=2
（2）設線段AB中點座標為（x，y）由中點座標公式得：x=a/2，y=b/2
故a=2x b=2y代入（a-2）（b-2）=2即可得AB中點方程為（x-1）（y-1）=1/2.
（3）由2=（a-2）（b-2）=ab-2（a+b）+4得ab-2（a+b）+2=0≥ab-2*根號ab+2=0
化簡得ab≤6+4*根號2
所以S三角形AOB=1/2ab≤1/2（6+4*根號2）=3+2*根號2
三角形AOB面積的最小值為3+2*根號2

若直線2aX-bY+2=0平分圓X²；+Y²；+2X-4Y+1=0的周長，則a·b的最大值是

平分圓的周長就是經過圓心
（x+1）²；+（y-2）²；=4
把（-1,2）代入2ax-by+2=0
得a+b=1
∴ab≤（a+b）²；/4=1/4

若圓C1:x^2+y^2-2ax+4y+a^-5=0與圓C2:x^2+y^2+2x-2ay+a^2-3=0相交，（1）求相交弦所在的直線方程；（2）當a=0時，求兩圓的相交弦長

1）相减：
（1+a）x-（a+2）y+1=0
直線系x-2y+1+a（x-y）=0
恒過x-2y+1=0和x-y=0交點（1,1）
相交弦所在的直線方程為恒過定點（1,1）的直線系：（1+a）x-（a+2）y+1=0
2）a=0
相交弦x-2y+1=0
x^2+y^2+4y-5=0與圓C2:x^2+y^2+2x-3=0
c2（-1,0），r2=2
c2到相交弦x-2y+1=0距離d
d=|-1+1|/√（1^2+2^2）=0
相交弦為C2直徑
相交弦長=2r2=4