梯度的意義 梯度中的grad=ai+bj 這裡的grad究竟是一個什麼樣的量？是z軸上的變化率麼，對應關係是什麼啊？每當x軸變a，y軸變b，z變grad麼？可grad應該是在xy平面的啊.

梯度的意義 梯度中的grad=ai+bj 這裡的grad究竟是一個什麼樣的量？是z軸上的變化率麼，對應關係是什麼啊？每當x軸變a，y軸變b，z變grad麼？可grad應該是在xy平面的啊.

若有一個二元函數z=f（x，y），當它由點A移動到點B時（設移動的距離為L），此時函數值z有一個增量M.當L趨於無限小時，若M/L有一個極限值，那麼這個極限值就叫做函數在方向AB上的方向導數.
經過點A函數可以朝任意方向移動（當然移動的範圍必須在定義域內），函數就有任意多個方向導數，但其中有一個方向上方向導數肯定最大，這個方向就用梯度（grad=ai+bj）這個向量來表示，其中a是函數在x方向上的偏導數，b是函數在y方向上的偏導數，梯度的模就是這個最大方向導數的值.

請解釋梯度、旋度和散度的幾何、物理意義

設體系中某處的物理參數（如溫度、速度、濃度等）為w，在與其垂直距離的dy處該參數為w+dw，則稱為該物理參數的梯度，也即該物理參數的變化率.如果參數為速度、濃度或溫度，則分別稱為速度梯度、濃度梯度或溫度梯度.在向量微積分中，標量場的梯度是一個向量場.標量場中某一點上的梯度指向標量場增長最快的方向，梯度的長度是這個最大的變化率.更嚴格的說，從歐氏空間Rn到R的函數的梯度是在Rn某一點最佳的線性近似.在這個意義上，梯度是雅戈比矩陣的一個特殊情况.在單變數的實值函數的情况，梯度只是導數，或者，對於一個線性函數，也就是線的斜率.梯度一詞有時用於斜度，也就是一個曲面沿著給定方向的傾斜程度.可以通過取向量梯度和所研究的方向的點積來得到斜度.梯度的數值有時也被成為梯度.在二元函數的情形，設函數z=f（x，y）在平面區域D內具有一階連續偏導數，則對於每一點P（x，y）∈D，都可以定出一個向量（δf/x）*i+（δf/y）*j這向量稱為函數z=f（x，y）在點P（x，y）的梯度，記作gradf（x，y）類似的對三元函數也可以定義一個：（δf/x）*i+（δf/y）*j+（δf/z）*k記為grad[f（x，y，z）]梯度本意是一個向量（向量），當某一函數在某點處沿著該方向的方向導數取得該點出的最大值，即函數在該點處沿方向變化最快，變化率最大（為該梯度的模）.旋度的數學定義設有向量場A（x，y，z）=P（x，y，z）i+Q（x，y，z）j+R（x，y，z）k在坐標軸上的投影分別為δR/δy -δQ/δz，δP/δz -δR/δx，δQ/δx -δP/δy的向量叫做向量場A的旋度，記作rot A或curl A，即rot A=（δR/δy -δQ/δz）i+（δP/δz -δR/δx）j+（δQ/δx -δP/δy）k式中的δ為偏微分（partial derivative）符號.行列式記號旋度rot A的運算式可以用行列式記號形式表示：若A=Ax·i+Ay·j，則rotA=（dAy/dx）i-（dAx/dy）j若A=Ax·i+Ay·j+Az·k則rotA=（dAz/dy-dAy/dz）i+（dAx/dz-dAz/dx）j+（dAy/dx-dAx/dy）k為一向量.旋度的物理意義設想將閉合曲線縮小到其內某一點附近，那麼以閉合曲線L為界的面積也將逐漸减小.一般說來，這兩者的比值有一極限值，記作即組織面積平均環流的極限.它與閉合曲線的形狀無關，但顯然依賴於以閉合曲線為界的面積法線方向且通常L的正方向與規定要構成右手螺旋法則，旋度的重要性在於，可用通過研究表徵矢量在某點附近各方向上環流强弱的程度，進而得到其組織面積平均環流的極限的大小程度.散度的概念div F=▽·F在向量場F中的任一點M處作一個包圍該點的任意閉合曲面S，當S所限定的體積ΔV以任何管道趨近於0時，則比值∮F·dS/ΔV的極限稱為向量場F在點M處的散度，並記作div F由散度的定義可知，div F表示在點M處的組織體積內散發出來的向量F的通量，所以div F描述了通量源的密度.散度的重要性在於，可用表徵空間各點向量場發散的强弱程度，當div F>0，表示該點有散發通量的正源；當div F

散度，旋度，梯度
請問一下他們的定義是什麼？
請具體寫一下，

散度
散度指流體運動時組織體積的改變率.簡單地說，流體在運動中集中的區域為輻合，運動中發散的區域為輻散.用以表示的量稱為散度，值為負時為輻合，此時有利於天氣系統的的發展和增强，為正時表示輻散，有利於天氣系統的消散.表示輻合、輻散的物理量為散度.
旋度，（公式沒法在這裡寫）詳見
梯度
gradient
設體系中某處的物理參數（如溫度、速度、濃度等）為w，在與其垂直距離的dy處該參數為w+dw，則稱為該物理參數的梯度，也即該物理參數的變化率.如果參數為速度、濃度或溫度，則分別稱為速度梯度、濃度梯度或溫度梯度.
在向量微積分中，標量場的梯度是一個向量場.標量場中某一點上的梯度指向標量場增長最快的方向，梯度的長度是這個最大的變化率.更嚴格的說，從歐氏空間Rn到R的函數的梯度是在Rn某一點最佳的線性近似.在這個意義上，梯度是雅戈比矩陣的一個特殊情况.
在單變數的實值函數的情况，梯度只是導數，或者，對於一個線性函數，也就是線的斜率.
梯度一詞有時用於斜度，也就是一個曲面沿著給定方向的傾斜程度.可以通過取向量梯度和所研究的方向的點積來得到斜度.梯度的數值有時也被成為梯度.

旋度，散度，環流量梯度物理意義是什麼（工程電磁學中），怎麼證明應用
散度，旋度，環流量，梯度物理義意是什麼（在工程電磁學裏），怎麼證明？

散度指流體運動時組織體積的改變率.若你的場是一個流速場，則該場的散度是該流體在某一點組織時間流出組織體積的淨流量.如果在某點，某場的散度不為零，表示該場在該點有源，例如若電場在某點散度不為零，表示該點有電荷，若流速場不為零，表示在該點有流體源源不絕地產生或消失（若散度為負）.旋度告訴你的是，一個場在某處，沿著一無窮小的平面邊界做環積分，平面法向量即由旋度向量給定，旋度向量的長度則是組織面積的環積分值.環流是和旋度聯系的.梯度是場的空間變化率.更具體的你可以看看電動力學的書，比如我記得feynman講義第二卷就講得很清楚

微積分中散度與旋度的幾何或物理意義

散度：可用表徵空間各點向量場發散的强弱程度，當div F>0，表示該點有散發通量的正源；當div F

請問什麼是函數的負梯度方向？

勢函數的最速下降方向，即其負梯度方向

|a+b|

兩點之間直線最短
設平面向量ab，將ab首尾順次連接
a的起點p1，a的終點（b起點）p2，b終點p3
即向量p1p2=a，p2p3=b，
|a|、|b|就是向量a、b的長，
向量a+b=p1p3
則|a+b|=|p1p3|，
那麼，根據兩點之間線段最短
就是說|p1p3|

|a-b|的幾何意義

是數軸上a和b表示的點之間的距離

λ（a-b）=λa-λb的幾何意義

兩個向量的差同時擴大或者縮小λ倍與這兩個向量同時擴大或縮小λ倍的差相等.

（a+b）（a-b）=a×a-b×b的幾何意義

一個正方形邊長a
邊緣剪掉一個小正方形邊長b
剪開
拼起來，得到長a+b，寬a-b的長方形
沒辦法畫圖啊