求和1+2x+3x²；；+……+nx^（n-1）把X當成2

求和1+2x+3x²；；+……+nx^（n-1）把X當成2

Sn=1+2x+3x^2+-----+nX^（n-1）=
xSn= x +2x^2+…+（n-1）x^（n-1）+nx^n
兩式相减：
（1-x）Sn=1+x+x^2+..x^（n-1）-nx^n=（1-x^n）/（1-x）-nx^n
Sn=（1-x^n）/（1-x）^2-nx^n/（1-x）

求和Sn=x+2x2+3x3+…+nxn（x≠0）.

當x=1時，sn=1+2+3+…+n=n（n+1）2；當x≠0且x≠1時，Sn=x+2x2+3x3+…+nxn，①xSn=x2+2x3+3x4+…+nxn+1，②①-②，得（1-x）Sn=x+x2+x3+…+xn-nxn+1，所以，sn=x（1−xn）（1−x）2-nxn+11−x.

Sn=x+2x^2+3x^3+.+nx^n（x不等於0）怎麼求？

x=1，Sn=1+2+……+n=略
x≠1
Sn=x+2x^2+3x^3+.+nx^n
xSn=x^2+2x^3+3x^4+.+（n-1）x^n+nx^（n+1）
相减
（x-1）Sn=-（x+x^2+x^3+.+x^n）+nx^（n-1）
=-x（x^n-1）/（x-1）+nx^（n+1）
Sn=-x（x^n-1）/（x-1）^2+nx^（n+1）/（x-1）