高等數學微分中值定理的證明 設a>b>0，證明：a-b / a < ln a/b < a-b / b

高等數學微分中值定理的證明 設a>b>0，證明：a-b / a < ln a/b < a-b / b

設f（x）=lnx，則f'（x）=1/x，
對f（x）在區間[b，a]上應用拉格朗日中值定理得，lna-lnb=（a-b）/c，其中a>c>b>0，
故（a-b）/a

已知二次函數y=x2+4x+k-1. （1）若抛物線與x軸有兩個不同的交點，求k的取值範圍； （2）若抛物線的頂點在x軸上，求k的值.

（1）∵二次函數y=x2+4x+k-1的圖像與x軸有兩個交點
∴b2-4ac=42-4×1×（k-1）=20-4k＞0
∴k＜5，
則k的取值範圍為k＜5；
（2）根據題意得：
 4ac−b2
4a=4（k−1）−16
4×1=0，
解得k=5.

已知二次函數Y=X2-〔M2＋8〕X＋2〔M2＋6〕，設抛物線頂點為A，與X軸交於B，C兩點，問是否存在實數M，使三角形ABC為等腰直角角形？如果存在，求出M的值；如果不存在，請說明理由.

Y=X^-〔M^＋8〕X＋2〔M^＋6〕（^表示平方）
=（x-（m^+8）/2）^-（m^+8）^/4+2（m^+6）
=（x-（m^+8）/2）^-（m^+4）^/4
則A點座標為（（m^+8）/2，-（m^+4）^/4）
設x1，x2分別是BC兩點的x座標
則x1+x2=m^+8，x1*x2=2（m^+6）
因AB=AC，要使ABC為等腰直角三角形則BC必為斜邊，此時A點到X軸的垂直線段也為BC邊的中線即A點y值的絕對值為BC線段的1/2
即2|-（m^+4）^/4|=|x1-x2|（1）
（x1-x2）^=（x1+x2）^-4x1*x2=（m^+8）^-4*2（m^+6）=（m^+4）^
則|x1-x2|=m^+4（因m^+4>0）
由（1）得（m^+4）^/2=m^+4，（m^+4）^=2（m^+4），m^+4=2，m^=-2
因m為實數，m^>=0，所以不存在m^=-2
即不存在實數M，使三角形ABC為等腰直角三角形

已知，抛物線y=（m2-4）x2+（m+2）x+3當m為何值時，此函數二次函數？

是二次函數則x²係數不等於0
m²-4≠0
（m+2）（m-2）≠0
m≠-2且m≠2

高等數學微分中值定理的應用 證明方程x^5+x-1=0只有一個根

1、有根：
設f（x）＝x^5＋x－1，則f（x）在[0,1]上連續，f（0）＜0，f（1）＞0，所以由零點定理，f（x）在（0,1）內有零點ξ,即方程x^5＋x－1＝0有根ξ
2、根唯一
設方程還有一個根η,η≠ξ,不妨假設η＞ξ,則在[ξ,η]上使用羅爾定理，存在ζ∈（ξ,η),使f'（ζ)＝0.而f'（x）＝5x^4+1＞0.衝突
所以方程只有一根

多元函數微分 設x+z=yf（x^2-z^2）， 求

兩端對x求偏導：1+z'x=yf'（x^2-z^2）（2x-2zz'x）[1+2yzf'（x^2-z^2）]z'x=2xyf'（x^2-z^2）-1z'x=[2xyf'（x^2-z^2）-1]/[1+2yzf'（x^2-z^2）]兩端對y求偏導：z'y=f（x^2-z^2）+yf'（x^2-z^2）（-2zz'y）[1+2yzf'（x^2-z^2）]z'y=f（x^ 2-…