如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，AD和過點C的切線互相垂直，垂足為D. （1）求證：AC平分∠DAB； （2）若CD=4，AD=8，試求⊙O的半徑.

如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，AD和過點C的切線互相垂直，垂足為D. （1）求證：AC平分∠DAB； （2）若CD=4，AD=8，試求⊙O的半徑.

（1）連接OC，
∵CD是切線，
∴OC⊥CD.
∵AD⊥CD，
∴AD‖CO，
∴∠1=∠4.
∵∠2=∠4，
∴∠1=∠2.
（2）做OE⊥AD，設半徑為x，
∵CD⊥AD，
∴OE‖CD；
又OC⊥CD，
∴OC‖AD，
∴四邊形OEDC是矩形，
∴OE=CD=4，AE=8-x，
∴42+（8-x）2=x2，
∴x=5.

圓O直徑AB的延長線與弦CD的延長線相交於點P，E為圓O上一點，AE弧=AC弧，DE交AB於點F，求證 圓O直徑AB的延長線與弦CD的延長線相交於點P，E為圓O上一點，AE弧=AC弧，DE交AB於點F，求證：PF*PO=PD*PC

證明：
連接OC、OE
則∠COE=2∠CDE
∵弧AC=弧AE
∴∠AOC=∠AOE
∴∠AOC=∠CDE
∴∠COP=∠PDF
∵∠P=∠P
∴△PDF∽△POC
∴PD/PO=PF/PC
∴PF*PO=PD*PC

如圖1，已知AB是圓O的直徑，AB垂直於弦CD，垂足為M，弦AE與弦CD交與F，AD^=AE乘AF，證明！ 希望30分鐘內有回復

1、輔助線：連接EB、DB
2、在三角形AMF與ABE中，由於AF/AB=AM/AE所以AF*AE=AB*AM
3、在三角形AMD與ADB中，由於AD/AB=AM/AD所以AD*AD=AB*AM
4、所以AD*AD=AF*AE

已知園O的直徑AB\CD互相垂直，弦AE交CD於F，若圓O的半徑為R.求證：AE*AF=2R的平方.

證明：
連接BE
∵AB是直徑
∴∠E=90°
∴∠E=∠AOF
∵∠A=∠A
∴△AOF∽AEB
∴AF/AB=AO/AE
∴AF*AE=AO*AB=R*2R=2R²

ab是o的直徑，ac，cf是弦，弦cd垂直ab，af，cd交於點e，且ae=ce，求證：ac=cf

連接BC
∵AB是直徑
∴∠ACB=90°（半圓上的圓周角是直角）
∵CD⊥AB
∴∠ADC=∠ACB=90°
∵∠CAD=∠CAB
∴△ACD∽△ACB
∴∠ACD=∠ABC
∵AE=CE
∴∠ACE=∠CAE即∠ACD=∠CAF
∴∠ABC=∠CAF
∴AC=CF（圓周角相等，所對應的弦相等）

三角形ABC內接於圓O且AB=AC點D在圓O上AD垂直AB於點AD與BC交於點E，F在DA的延長線線上且AF=AE 1，判斷出BF與圓O的位置關係並說明

相切

在三角形ABC中，AE垂直AB，AE=AB，AF垂直AC，AF=AC，AD垂直BC，垂足為D，延長DA交EF於M，試證：EM=FM

有圖嗎？如果有的話發一下.

在△ABC中，AB=AC，AF⊥BC，點D在BA的延長線上，點E在AC上，且AD=AE，是探索DE與AF的位置關係，並證明你的結 △ABC為等腰三角形，△ADE為等腰三角形，∠AFC=90°.

DE‖AF
在AC上找一點E，延長BA，取AD=AE並連結DE
∵△ABC是等腰三角形（A為頂點，B在左，C在右）AF⊥BC
∴∠FAC=1/2∠BAC
∵D在BA延長線上
∴∠DAE=180°-∠BAC
∵△ADE是等腰三角形
∴∠AED=（180°-∠DAE）÷2
=[180°-（180°-∠BAC）]÷2
=1/2∠BAC
∴∠FAC=∠AED
∴DE‖AF

如圖1，在邊長為1的等邊三角形ABC中，D，E分別是AB，AC邊上的點，AD=AE，F是BC的中點，AF與DE交於點G，將△ABF沿AF折起，得到如圖2所示的三棱錐A-BCF，其中BC= 2 2. （1）證明：DE‖平面BCF； （2）證明：CF⊥平面ABF； （3）當AD=2 3時，求三棱錐F-DEG的體積VF-DEG.

（1）在等邊三角形ABC中，AD=AE，∴AD
DB＝AE
EC，在折疊後的三棱錐A-BCF中也成立，
∴DE‖BC.
又∵DE⊄平面BCF，BC⊂平面BCF，
∴DE‖平面BCF.
（2）在等邊三角形ABC中，F是BC的中點，所以AF⊥BC，即AF⊥CF①，且BF＝CF＝1
2.
∵在三棱錐A-BCF中，BC＝
2
2，∴BC2=BF2+CF2，∴CF⊥BF②.
又∵BF∩AF=F，∴CF⊥平面ABF.
（3）由（1）可知GE‖CF，結合（2）可得GE⊥平面DFG.
∴VF−DEG＝VE−DFG＝1
3•1
2•DG•FG•GE=1
3•1
2•1
3•（1
3•
3
2）•1
3＝
3
324.

如圖RT△ABC中AC垂直BC，AD平分∠BAC交BC於點D，DE垂直AD交AB於點E M為AE的中點BF垂直BC交CM的延長線於點F 1.求證AC/BF=CD/BD 2.若BD=4 CD=3求證BE*AC的值

如圖，過點E作BF的平行線交CF於點G；連接DM
因為AC⊥BC，BF⊥BC
所以，AC//BF
而，EG//BF
所以，AC//EG
已知M為AE中點
所以，△AMC≌△EMG
所以，AC=EG
則，AC/BF=EG/BF
而EG/BF=MG/MF
因為MG=CM
所以，AC/BF=EG/NF=MG/MF=CM/MF
已知AD⊥DE，M為AE中點
所以，AM=MD
所以，∠2=∠3
已知∠1=∠2
所以，∠1=∠3
所以，MD//AC
所以，MD//BF
所以，CM/MF=CD/BD
所以，AC/BF=DC/BD
已知∠1=∠2，∠ACD=∠ADE=90°
所以，△ACD∽△ADE
所以，∠ADC=∠AED，且AC/CD=AD/DE
則，∠2+∠ABD=∠4+∠ABD
所以，∠2=∠4
所以，△ADB∽△DEB
所以，AD/DE=BD/BE
所以，AC/CD=BD/BE
所以，AC*BE=BD*CD=12