ｔａｎｘ－ｓｉｎｘ＝ｔａｎ（１－ｃｏｓｘ）の証明

ｔａｎｘ－ｓｉｎｘ＝ｔａｎ（１－ｃｏｓｘ）の証明

［証明］
ｔａｎｘ－ｓｉｎｘ
＝ｔａｎｘ－ｔａｎｘｃｏｓｘ
＝ｔａｎ（１－ｃｏｓｘ）
式があります：ｔａｎｘｃｏｓｘ＝ｓｉｎｘ
原因：ｔａｎｘ＝対／、ｃｏｓｘ＝／斜、ｓｉｎｘ＝対／斜、代入即可
中学校ならそう思う
それは高校だった場合，それはそれを証明することはできません，もともと，それは最も基本的な式だった．

既知のｘ＝ｅ＾ｔ＊ｃｏｓ　ｔ　ｙ＝ｅ＾ｔ＊ｓｉｎ　ｔ　ｔ　ｔ＝π／３でｄｙ／ｄｘの値を求める

ｄｙ／ｄｘ＝（ｅ＾ｔ×ｓｉｎｔ）′／（ｅ＾ｔ×ｃｏｓｔ）′
＝（ｅ＾ｔ×ｓｉｎｔ＋ｃｏｓｔ×ｅ＾ｔ）／（ｅ＾ｔ×ｃｏｓｔ－ｓｉｎｔ×ｅ＾ｔ）
＝（ｓｉｎｔ＋ｃｏｓｔ）／（ｃｏｓｔ－ｓｉｎｔ）
ときｘ＝π／３
＝（ルート３／２＋１／２）／（１／２－ルート３／２）
＝－２－ルート３

ｘ＝ｅ＾ｔ＊ｓｉｎ　ｔ　ｙ＝ｅ＾ｔ＊ｃｏｓｔ　ｔ＝６０度でｄｙ／ｄｘの値を求めることが知られている。

ｘ＾２＋ｙ＾２＝ｅ＾２ｔ．ｔ＝π／３の場合、ｘ＾２＋ｙ＾２＝ｅ＾２π／３．ｘを求導，得２ｘ＋２ｙｄｙ／ｄｘ＝０．所以ｄｙ／ｄｘ＝－ｘ／ｙ．

求められる：ｘ＝ｃｏｓ＾４＊ｔ，ｙ＝ｓｉｎ＾４＊ｔ，求ｄｙ／ｄｘ

ｄｘ／ｄｔ＝４（ｃｏｓｔ）＾３＊（ｃｏｓｔ）＇ｄｙ／ｄｔ（ｓｉｎｔ）＾３＊（ｓｉｎｔ）＇而（ｃｏｓｔ）＇＝－ｓｉｎｔ（ｓｉｎｔ）＇＝ｃｏｓｔだからｄｙ／ｄｘ＝（ｄｙ／ｄｔ）／（ｄｘ／ｄｔ）＝４（ｃｏｓｔ）＾３＊（－ｓｉｎｔ）／［４（ｓｉｎｔ）＾３＊ｃｏｓｔ］＝－（ｃｏｔｔ）＾２

ｙｓｉｎｘ－ｃｏｓ（ｘ＋ｙ）＝０，ｄｙ／ｄｘを求める

複合関数の導関数を適用します。
ｙ′ｓｉｎｘ＋ｙｃｏｓｘ＋（１＋ｙ′）ｓｉｎ（ｘ＋ｙ）＝０，
（ｓｉｎｘ＋ｓｉｎ（ｘ＋ｙ））ｙ′＋ｙｃｏｓｘ＋ｓｉｎ（ｘ＋ｙ）＝０，
ｙ′＝－（ｙｃｏｓｘ＋ｓｉｎ（ｘ＋ｙ）／（ｓｉｎｘ＋ｓｉｎ（ｘ＋ｙ））．
故ｄｙ／ｄｘ＝ｙ′＝－（ｙｃｏｓｘ＋ｓｉｎ（ｘ＋ｙ）／（ｓｉｎｘ＋ｓｉｎ（ｘ＋ｙ））．

ｄｙ／ｄｘ＝１－ｃｏｓ（ｙ－ｘ）

置換ｕ＝ｙ－ｘ，則ｄｙ／ｄｘ＝ｄｕ／ｄｘ＋１，元方程式化ｄｕ／ｄｘ＝－ｃｏｓｕ，分離変数ｄｕ／ｃｏｓｕ＝－ｄｘ，両側積分ｌｎ（ｓｅｃｕ＋ｔａｎｕ）＝－ｌｎｘ＋ｌｎＣ，所以ｘ（ｓｅｃｕ＋ｔａｎｕ）＝Ｃ，代入ｕ＝ｙ－ｘ得通解ｘ（ｓｅｃ（ｙ－ｘ）＋ｔａｎ（ｙ－ｘ））＝Ｃ