已知如圖，等腰Rt△ABC中，∠A=90°，D為BC中點，E、F分別為AB、AC上的點，且滿足EA=CF.求證：DE=DF.

已知如圖，等腰Rt△ABC中，∠A=90°，D為BC中點，E、F分別為AB、AC上的點，且滿足EA=CF.求證：DE=DF.

證明：連接AD，如圖，
∵△ABC為等腰直角三角形，D為BC中點，
∴AD=DC，AD平分∠BAC，∠C=45°，
∴∠EAD=∠C=45°，
在△ADE和△CDF中
EA＝CF
∠EAD＝∠C
AD＝CD，
∴△ADE≌△CDF，
∴DE=DF.

D.E分別是ABC邊BC和AB上的點，ABD與ACD的周長等，CAE與CBE的周長等，設BC＝a，AC=b，AB=c，若角BAC=90°，三角形ABC的面積為S，求證：S=AE*BD.

設AE為X，BD為Y
根據三角形ADB的周長和三角形ACD的周長相等可得
c＋Y+AD=a－Y＋AD＋b
所以Y=（a+b-c）/2
同理可以求出X=（a+c-b）/2
所以
XY=[（a+b-c）/2]* [（a+c-b）/2]（化簡後得）
ab/2
又因為
S= ab/2
所以命題得證

已知Rt三角形ABC角C=90，CD是高如果三角形ACD的面積是三角形BCD的面積和三角形ACB的面積的比例中項求SinA的值

∵CQ=1/3CE，即CQ/CE=1/3
∴CQ/EQ=1/2即EQ/CE=2
∵E、F分別是AB、AC的中點
∴EF‖BC，
延長BQ交EF於H，
∴∠PHB=∠CBQ
∵BQ平分∠CBP
∴∠CBQ=∠PBQ=∠PHB
∴BP=PH
∵EF‖BC
∴△BCQ∽△EHQ
EH/BC=EQ/CQ=2
∴EH=2BC=12
∵EH=PE+PH=PE+BP
∴PE+BP=12

已知如圖，在△ABC中，CH是外角∠ACD的平分線，BH是∠ABC的平分線. 求證：∠A=2∠H.

證明：∵∠ACD是△ABC的一個外角，
∴∠ACD=∠ABC+∠A，
∵∠2是△BCH的一個外角，
∴∠2=∠1+∠H，
∵CH是外角∠ACD的平分線，BH是∠ABC的平分線，
∴∠1=1
2∠ABC，∠2=1
2∠ACD，
∴∠A=∠ACD-∠ABC=2（∠2-∠1），而∠H=∠2-∠1，
∴∠A=2∠H.

在三角形ABC中，已知角ACB是直角，CD是斜邊AB上的高，求證：三角形ACD∽三角形CBD∽三角形ABC

oh！這個東西很簡單啊，得出的結論是個著名的定律，叫做射影定理，你直接搜一下射影定理的證明試試看！

三角形ABC中，D是三角形內的一點，求證角CBD=角A+角ACD+角ABD

連接AD並延長與BC交於E
∵∠BDE=∠BAE+∠ABD∠CDE=∠CAE+∠ACD
∴∠BDE=∠BAE+∠ABD+∠CAE+∠CDE
=∠A+∠ABD+∠ACD

在△ABC中，若三邊a、b、c成等比數列求最小角的正弦值.

b^2=ac，
a^2+b^2=c^2
a^2+ac=c^2
a^2+ac-c^2=0
求上面方程兩個根就能求出a和c的關係

直角△ABC的三個內角的正弦值成等比數列，設最小的銳角為角A，則sinA=

sin90=1
sinA:sinB=sinB=1
sinA=（sinB）^2
sinA=（cosA）^2
（sinA）^2+sinA=1
sinA=（1-√5）/2
sinA=（1+√5）/2>1（舍去）

Rt三角形ABC中，銳角A，B的正弦是方程x^2-（x/2）-m=0的二根，求m 抱歉是x^2-（x/2）+m=0

由韋達定理得
sinA+sinB=1/2
sinA*sinB=m
將（1）式平方得
1+2sinAsinB=1/4
即
1+2m=1/4
所以
m=-3/8

銳角三角形函數：在RT△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，求sinA的值.

∵∠C=90°，∠A=60°
∴∠B=180°-∠C-∠A=30°
設AC=x
由AB=2x
∴BC=√（AB²-AC²）=√3x
∴sinA=BC/AB=√3/2