微積分題目：若∫f'（2x）dx=sin2x+C，求函數f（x）

微積分題目：若∫f'（2x）dx=sin2x+C，求函數f（x）

解析：∫f'（2x）dx＝sin2x＋C
∴1/2∫f'（2x）d2x＝sin2x＋C
∴1/2f（2x）＝sin2x＋C
令t＝2x，則
1/2f（t）＝sint＋C
∴1/2f（x）＝sinx＋C
∴f（x）＝2sinx＋C'（其中C'＝2C.）

微積分為什麼最後要寫個dx？

dx是引數的微分，也就是Δx，d/dx是把跟在後面的那個式子對x求導，也可以把跟在後面的式子寫在分子的d後面，意思一樣.

使用分部積分法計算∫xe^x dx 要求： 一步一步寫，不要跳步，附上解釋以及所用到的公式.

∫xe^x dx
=∫xde^x
=xe^x-∫e^xdx
=xe^x-e^x+C

用分部積分法計算定積分：∫（1,0）xe^-x dx

原式=-∫xde^（-x）
=-xe^（-x）+∫e^（-x）dx
=-xe^（-x）-e^（-x）（1,0）
=（-1/e-1/e）-（0-1）
=1-2/e

積分：∫∞，a xe^[-（x-a）]dx 範圍在∞，a

不定積分
∫xe^[-（x-a）] dx
=∫xe^（a-x）dx
= -∫xe^（a-x）d（a-x）
= -∫xd（e^（a-x））
= -xe^（a-x）+∫e^（a-x）dx
= -xe^（a-x）-∫e^（a-x）∫d（a-x）
= -xe^（a-x）- e^（a-x）+ C
對於定積分而言就有
原積分= lim（x→+∞）[（-x -1）/e^（x-a）] -（0-1）/e^0 = 1

設f（x）=2√x，根據導數的定義求f'（4）

解
f'（x）=（2√x）'=（2x＾1/2）'=2*1/2*x＾-1/2=x＾-1/2=1/√x
f'（4）=1/√4=1/2