∫（cos√x）^2dx

∫（cos√x）^2dx

設t=根號x，x=t^2，dx=2tdt
原式=∫（cost）^2*2tdt=∫（cos2t+1）/2*2tdt
=∫tcos2tdt+∫tdt
=1/2t*sin2t-1/2∫sin2tdt+t^2
=t/2*sin2t+1/4cos2t+t^2+C
最後把t換成根號x.
公式有點記不住了，不知對不對，請指正.

微積分求解∫e^x cos（e^x）dx=

∫e^x cos（e^x）dx
=∫cos（e^x）d（e^x）
=sin（e^x）+C

求∫arctan（e^x）/（e^x）dx？

a=e^x
x=lna
dx=da/a
所以原式=∫arctana*da/a²
=-∫arctanad（1/a）
=-arctana/a+∫1/a*darctana
=-arctana/a+∫1/a*da/（1+a²)
∫1/a*da/（1+a²)
=∫（1+a²-a²)/a（a²+1）da
=∫[1/a-a/（a²+1）]da
=∫1/ada-∫a/（a²+1）da
=lna-1/2∫d（a²+1）/（a²+1）
=lna-1/2*ln（a²+1）+C
所以原式=-arctana/a+lna-1/2*ln（a²+1）+C
=-arctan（e^x）/e^x+x-1/2*ln（e^2x+1）+C

有關微積分問題∫dx／（e^x+e^-x）

dx／（e^x+e^-x）
上下同時乘以e^x
e^xdx/[（e^x）^2+1]
又e^xdx=d（e^x）
所以變為
d（e^x）/[（e^x）^2+1]
令t=e^x
dt/（t^2+1）
原積分=arctan（t）+C=arctan（e^x）+C

∫arctan（1+√x）dx

∫arctan（1+√x）dx換元t=arctan（1+√x），（tant -1）^2=x=∫t d（tant-1）^2=t（tant-1）^2 -∫（tant-1）^2 dt=t（tant-1）^2 -∫（sint-cost）^2/cos^2t dt=t（tant-1）^2 -∫（1-2sintcost）/cos^2t dt=t（tant-1）^2 -∫1…

分別求x*sin（a*x）dx和x*cos（a*x）dx的積分 雖然我已經知道答案了，但想知道求的過程 再問下這種積分能在matlab裏求出來嗎？我用mathmatica貌似解不出來

int（'x*sin（a*x）'，'x'）
ans =
1/a^2*（sin（a*x）-a*x*cos（a*x））
int（'x*cos（a*x）'，'x'）
ans =
1/a^2*（cos（a*x）+a*x*sin（a*x））