如圖，在△ABC中，D為AC上一點，E為CB延長線上一點，且AC BC＝EF DF， 求證：AD=EB.

如圖，在△ABC中，D為AC上一點，E為CB延長線上一點，且AC BC＝EF DF， 求證：AD=EB.

證明：過D點作DH‖BC交AB於H，如圖，
∵DH‖BC，
∴△AHD∽△ABC，
∴AD
AC=DH
BC，即AD
DH=AC
BC，
∵DH‖BE，
∴△BEF∽△HDF，
∴BE
HD=EF
DF，
而AC
BC＝EF
DF，
∴BE
HD=AD
DH，
∴AD=EB.

如圖，△ABC中，AB=AC，E是AB上一點，F是AC延長線上一點，且BE=CF，若EF與BC相交於D，求證：DE=DF.

證明：作FH‖AB交BC延長線於H，
∵FH‖AB，
∴∠FHC=∠B.
又∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB.
又∵∠ACB=∠FCH，
∴∠FHE=∠FCH.
∴CF=HF.
又∵BE=CF，
∴HF=BE.
又∵FH‖AB，
∴∠BED=∠HFD，
在△DBE與△FHE中，
∠B＝∠FHC
BE＝HF
∠BED＝∠HFD，
∴△DBE≌△FHE（ASA）.
∴DE=DF.

如圖，AB是⊙O的直徑，EF是弦，CE⊥EF交AB於C，DF⊥EF交AB於D求證：AC=BD

過O作OG⊥EF交EF於G.
∵EF是⊙O的弦，又OG⊥EF，∴EG＝FG.
∵CE⊥EF、DF⊥EF、OG⊥EF，∴OG‖CE‖DF，∴CDFE是梯形，
結合證得的EG＝FG，得：OG是梯形CDFE的中位線，∴OC＝OD.
顯然有：OA＝OB，∴OA－OC＝OB－OD，∴AC＝BD.

已知，AB為圓O的直徑，CD是弦，BE⊥CD於E，AF⊥CD於F，連接OE，OF，求證： （1）OE=OF； （2）CE=DF.

（1）證明：連接OC、OD、OG，作OH⊥BG於H，交CD於M，∵AB為圓O的直徑，BE⊥CD於E，AF⊥CD於F，∴∠BGF=90°，∴四邊形BGFE是矩形，∴BG=EF，BG‖EF，∵OH⊥BG，∴BH=GH，EF⊥OH，∴四邊形BHME和四邊形GHMF也是矩形，…

如圖，cd為圓o的弦，在cd上取ce=df，連接oe、of，並延長交圓o於點a、b 1、試判斷三角形oef的形狀，並說明理由：2、求證：弧ac=弧bd.急用！

等腰三角
ac=bd
用全等去證明
其實很容易的

如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的圓O交BC於D，交AC於點E，過D做DF⊥AC，垂足為F（1）求證，DF為圓O切線

因為以AB為直徑的圓O交BC於D，
所以AD⊥BC，
因為AB=AC，
所以BD=CD，
又AO=BO
所以OD‖AC（三角形中位線定理）
因為DF⊥AC
所以OD⊥DF
所以DF為圓O切線

AB是圓O的直徑，EF是弦，CE⊥EF，DF⊥EF，E、F為垂足.求證：AC=BD 證明： 過圓心O作OM⊥EF，垂足為M 則根據“垂徑定理”得ME＝MF 因為CE⊥EF，DF⊥EF 所以CE//OM//DF 所以OC/OD＝ME/MF＝1 所以OC＝OD 因為OA＝OB 所以AC＝BD 為什麼可推出OC/OD＝ME/MF＝1

因為OC=OD=R，即都是圓的半徑.
因為EF是圓的弦，O是圓心，過圓心做弦的垂線，則該垂線平分弦！
（連接OE、OF，則OE=OF，都是半徑，所以△OEF為等腰三角形，所以底邊高平分底邊）

在圓O中，直徑AB與弦CD相交，分別過A，O，B三個點作CD的垂線，垂足分別為E，H，F，求證：CE=DF

設AB，CD交點為G，依相似關係有：BG/FG=OG/GH=OA/EH，
所以（BG+OG）/（FG+GH）=OA/EH => FG=GH，H為BC中點，所以CE=DF

如圖，AB是圓O的直徑，AD是弦，E是圓O外一點，EF垂直AB於F，交AD於點C，且CE=ED，求證：DE是圓O的切線

證明：
連接OD
∵OD=OA
∴∠ODA=∠A
∵EC=ED
∴∠EDC=∠ECD=∠ACF
∵EF⊥AB
∴∠A+∠ACF=90°
∴∠ADO+∠CDE=90°
即OD⊥DE
∴DE是圓O的切線

如圖，AB是⊙O的直徑，AC是弦，直線CE和⊙O切於點C，AD⊥CE，垂足為D.求證：AC平分∠BAD.

證明：連接BC，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠B+∠CAB=90°；
∵AD⊥CE，
∴∠ADC=90°，
∴∠ACD+∠DAC=90°；
∵AC是弦，且CE和⊙O切於點C，
∴∠ACD=∠B，
∴∠DAC=∠CAB，即AC平分∠BAD.