マトリックス証明問題：もしn次の方形陣がAA^T=Eを満足するなら、任意のn次元列ベクトルxに対してx^TAx=0があることを証明します。 n次配列がA^T=-Aを満たすと、任意のn次元列ベクトルxに対してx^TAx=0があることを証明する。

マトリックス証明問題：もしn次の方形陣がAA^T=Eを満足するなら、任意のn次元列ベクトルxに対してx^TAx=0があることを証明します。 n次配列がA^T=-Aを満たすと、任意のn次元列ベクトルxに対してx^TAx=0があることを証明する。

タイトルが間違っています。条件をAA^T=0に変えたらいいです。
x^TAxを転置すれば分かります。

Aをn次実数行列とすると、bは任意のn次元ベクトルであり、線形方程式グループATAx＝ATbには解があることが証明されます。ここで、ATはAの転置を表します。 この解の幾何学的意味は何ですか？

これは最小二乗解で、説明がちょっと面倒くさいです。ビルさんは線形代数の中で最小二乗法を見てください。

Aはn次反称行列で、任意のn次元ベクトルXだけに対してX^TAX=0があります。これはどう証明しますか？

Aを反対すると、A’＝−A注意X’AXは一つの数、（X’AX）’＝X’AXとなる。
一方、（X’AX）’＝X’A’X’＝X’（−A）X＝−X’AX
∴X’AX＝−X’AX’AX＝0
逆に、任意のn次元列ベクトルXに対して、X’AX＝0をA＝（aij）とする。
X’を取る＝（0…0 1 0…0）、「i番目は1で、他は全部0」X’AX＝aii＝0で、Aの対角は全部0です。
X'=((0…0 1 0…0 1 0…0 1 0…0)[i，j个は1，i≠j他は全部0]
X’AX＝aii＋aji＋aij＋ajj＝aji＋aij＝0 aji＝−aij A’＝−Aは反対する。

Aをn次行列とし、Bをn次非ゼロ行列とし、Bの各列ベクトルが斉次方程式グループAx=0が解であれば、124 A 124=？

124 A 124=0
Bはゼロではないので、Bの列ベクトルはすべてAX=0の解です。だから、AX=0はゼロではないです。だから、|A 124;=0です。

Aをn次実行列として設定し、証明：任意のn次元実列ベクトルaに対して、a^TAa=0があれば、Aを反対称マトリックスとして求めますが、どうやって証明しますか？

マトリクスA=(aij)
任意のn維実列ベクトルaに対して成立するので、aの上に文章を作成します。
令a=(0，…，1，…0)(aの中でi番目の元素は1，残りは0)を代入するとaii=0が分かります。
令a=(…，1，...，1，.)(aのうちi番目とj番目の要素は1で、残りは0)(i≠j)を代入してもいいです。
aii=ajj=0、だからaij+aji=0
だから(aij)+a(ji)=0
つまり、A+A^T=0、A=-A^Tです
したがって、Aは反称行列である。

Aをmとする×n行列，整列線形方程式グループAx=0はゼロ解のみの十分条件は() A.Aの列ベクトルは直線的に独立しています。 B.Aの列ベクトル線形相関 C.Aの行ベクトルは直線的に独立しています。 D.Aの行ベクトル線形相関

Aはmです×n行列、∴Aはm行n列があり、かつ方程式群はn個の未知数がある。
 Ax=0はゼロ解⇔Aだけのランクは方程式群の未知数数n以下ではない。
⑧R（A）=n⇔Aのランク=n⇔Aの列ベクトルは線形に独立しています。
マトリクスAはn列があり、∴Aの列ベクトル群は直線的に独立しています。
Aはm行があり、mはnより小さいかもしれません。この時、行ベクトル群は線形に関係なく、R（A）＝mとしか言えません。r（A）≧nは証明できません。
だからA.