在正方體ABCD-A'B'C'D'中，求二面角B'-BD'-C'的大小

在正方體ABCD-A'B'C'D'中，求二面角B'-BD'-C'的大小

連結A‘C’，交B‘D’於E，則C‘E⊥B’D‘，又BB’⊥平面A‘B’C‘D’，C‘E∈平面A‘B’C‘D’，BB’⊥C‘E，BB’∩B‘D’=B‘∴C’E⊥平面BB‘D’，連結BE，則△BB‘E是△BC’E在平面BB‘D’上的投影，設二面角B‘-BD’-C‘…

正方體ABCD-A“B”C“D”中，二面角B-A“C-A的大小為？

設該正方體的棱長為a.
由已知，△A“BC為Rt△，且A”C =√3 a，A“B =√2 a，BC = a，∠A”BC = 90°.
取AC的中點O，
連BO，則BO⊥AC.
而平面ABCD⊥平面A“CA，這兩面的交線為AC，且點B在平面ABCD內，
∴點B在平面A“CA內的射影為點O.
∴△A“BC在平面A”CA內的射影為△A“OC.
∴若設二面角B-A“C-A的大小x，
則有（△A“BC的面積）×cosx =（△A”OC的面積）
∵△A“BC的面積S1 =（1/2）×A”B×BC
=（1/2）×（√2 a）×a
=（√2 / 2）a的平方
又∵△A“OC的面積S2 =（1/2）×A”A×OC
=（1/2）×a×（√2/2 a）
=（√2 / 4）a的平方
∴cosx = S2 / S1
= [（√2 / 4）a的平方] / [（√2 / 2）a的平方]
= 1 / 2
∴x = 60°或π/ 3 .