已知：如圖，矩形DEFG的一邊DE在△ABC的邊BC上，頂點G、F分別在邊AB、AC上，AH是邊BC上的高，AH與GF相交於點K，已知BC=12，AH=6，EF:GF=1:2，求矩形DEFG的周長.

已知：如圖，矩形DEFG的一邊DE在△ABC的邊BC上，頂點G、F分別在邊AB、AC上，AH是邊BC上的高，AH與GF相交於點K，已知BC=12，AH=6，EF:GF=1:2，求矩形DEFG的周長.

設EF=x，則GF=2x.∵GF‖BC，AH⊥BC，∴AK⊥GF.∵GF‖BC，∴△AGF∽△ABC，∴AKAH=GFBC.∵AH=6，BC=12，∴6−x6=2x12.解得x=3.∴矩形DEFG的周長為18.

在面積為24的△ABC中，矩形DEFG的邊DE在AB上運動，點F、G分別在BC、AC上.
（1）若AB=8，DE=2EF，求GF的長；（2）若∠ACB=90°，如圖2，線段DM、EN分別為△ADG和△BEF的角平分線，求證：MG=NF；（3）請直接寫出矩形DEFG的面積的最大值.

（1）∵△ABC的面積是24，若AB=8，∴△ABC的高h =6.設EF=x，則GF=DE=2x，∵GF‖AB，∴△CGF∽△CAB，∴GFAB=h-EFh，即2x8=6-x6，解得：x=2.4，∴GF=4.8；（2）過G作GP‖BC，過D作DP‖EN，GP、DP交於P點.在DM上截取D…

如圖，在角ABc中，角ABC＝90度，分別以邊向外作正方形，面積分別記為S1，S2，S3，若S2＝4，S3＝6，則S1=
BC，AB，AC

因為三角形ABC為直角三角形，角ABC＝90度，所以根據畢氏定理有AB^2＋BC^2＝AC^2，且正方形S1＝BC^2，正方形S2＝AB^2，正方形S3＝AC^2，所以S1＋S2＝S3，S1＝S3－S2＝6－4＝2.

BE⊥AD，DF⊥BC，且AO＝CO∠ABC＝∠CDA，求證：BE＝DF

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