圓周率π是怎麼算出來的？

圓周率π是怎麼算出來的？

祖沖之生於南北朝（西元429-500年）範陽薊縣人，他曾算出月球繞地球一周為27.21223日，和現在公認的27.21222日，在小數第五位才有1的誤差.難怪西方科學家將月球上的一個火山坑命名叫「祖沖之」，這也是月球上唯一用中國…

圓周率是怎麼算出來的？

圓周率的計算方法
古人計算圓周率，一般是用割圓法.即用圓的內接或外切正多邊形來逼近圓的周長.Archimedes用正96邊形得到圓周率小數點後3比特的精度；劉徽用正3072邊形得到5比特精度；Ludolph Van Ceulen用正262邊形得到了35比特精度.這種基於幾何的算灋計算量大，速度慢，吃力不討好.隨著數學的發展，數學家們在進行數學研究時有意無意地發現了許多計算圓周率的公式.下麵挑選一些經典的常用公式加以介紹.除了這些經典公式外，還有很多其他公式和由這些經典公式衍生出來的公式，就不一一列舉了.
這個公式由英國天文學教授John Machin於1706年發現.他利用這個公式計算到了100比特的圓周率.Machin公式每計算一項可以得到1.4比特的十進位精度.因為它的計算過程中被乘數和被除數都不大於長整數，所以可以很容易地在電腦上程式設計實現.
Machin.c來源程式
還有很多類似於Machin公式的反正切公式.在所有這些公式中，Machin公式似乎是最快的了.雖然如此，如果要計算更多的位數，比如幾千萬比特，Machin公式就力不從心了.下麵介紹的算灋，在PC機上計算大約一天時間，就可以得到圓周率的過億比特的精度.這些算灋用程式實現起來比較複雜.因為計算過程中涉及兩個大數的乘除運算，要用FFT（Fast Fourier Transform）算灋.FFT可以將兩個大數的乘除運算時間由O（n2）縮短為O（nlog（n））.
在我國，首先是由數學家劉徽得出較精確的圓周率.西元263年前後，劉徽提出著名的割圓術，得出π＝3.14，通常稱為“徽率”，他指出這是不足近似值.雖然他提出割圓術的時間比阿基米德晚一些，但其方法確有著較阿基米德方法更美妙之處.割圓術僅用內接正多邊形就確定出了圓周率的上、下界，比阿基米德用內接同時又用外切正多邊形簡捷得多.另外，有人認為在割圓術中劉徽提供了一種絕妙的精加工辦法，以致於他將割到192邊形的幾個粗糙的近似值通過簡單的加權平均，竟然獲得具有4比特有效數字的圓周率π＝3927/1250＝3.1416.而這一結果，正如劉徽本人指出的，如果通過割圓計算得出這個結果，需要割到3072邊形.這種精加工方法的效果是奇妙的.這一神奇的精加工科技是割圓術中最為精彩的部分，令人遺憾的是，由於人們對它缺乏理解而被長期埋沒了.
恐怕大家更加熟悉的是祖沖之所做出的貢獻吧.對此，《隋書·律曆志》有如下記載：“宋末，南徐州從事祖沖之更開密法.以圓徑一億為丈，圓周盈數三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽，朒數三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽，正數在盈朒二限之間.密率：圓徑一百一十三，圓周三百五十五.約率，圓徑七，週二十二.”
這一記錄指出，祖沖之關於圓周率的兩大貢獻.其一是求得圓周率
3.1415926＜π＜3.1415927
其二是，得到π的兩個近似分數即：約率為22／7；密率為355／113.
他算出的π的8比特可靠數位，不但在當時是最精密的圓周率，而且保持世界記錄九百多年.以致於有數學史家提議將這一結果命名為“祖率”.
這一結果是如何獲得的呢？追根溯源，正是基於對劉徽割圓術的繼承與發展，祖沖之才能得到這一非凡的成果.因而當我們稱頌祖沖之的功績時，不要忘記他的成就的取得是因為他站在數學偉人劉徽的肩膀上的緣故.後人曾推算若要單純地通過計算圓內接多邊形邊長的話，得到這一結果，需要算到圓內接正12288邊形，才能得到這樣精確度的值.祖沖之是否還使用了其它的巧妙辦法來簡化計算呢？這已經不得而知，因為記載其研究成果的著作《綴術》早已失傳了.這在中國數學發展史上是一件極令人痛惜的事.
中國發行的祖沖之紀念郵票
祖沖之的這一研究成果享有世界聲譽：巴黎“發現宮”科學博物館的牆壁上著文介紹了祖沖之求得的圓周率，莫斯科大學禮堂的走廊上鑲嵌有祖沖之的大理石塑像，月球上有以祖沖之命名的環形山……
對於祖沖之的關於圓周率的第二點貢獻，即他選用兩個簡單的分數尤其是用密率來近似地表示π這一點，通常人們不會太注意.然而，實際上，後者在數學上有更重要的意義.
密率與π的近似程度很好，但形式上卻很簡單，並且很優美，只用到了數位1、3、5.數學史家梁宗巨教授驗證出：分母小於16604的一切分數中，沒有比密率更接近π的分數.在國外，祖沖之死後一千多年，西方人才獲得這一結果.
可見，密率的提出是一件很不簡單的事情.人們自然要追究他是採用什麼辦法得到這一結果的呢？他是用什麼辦法把圓周率從小數表示的近似值化為近似分數的呢？這一問題歷來為數學史家所關注.由於文獻的失傳，祖沖之的求法已不為人知.後人對此進行了各種猜測.

圓周率表示在同一個圓內，（）和（）的倍數關係？

圓周率表示在同一個圓內的（周長）和（直徑）的倍數關係

圓周率表示同一圓裏（）與（）的倍數關係

圓周率表示同一圓裏（周長）與（直徑）的倍數關係

圓周率表示同圓內______和______的倍數關係，用字母______表示.

圓周率是表示圓的周長和直徑的關係，用字母π表示.
故答案為：周長、直徑、π.

圓周率表示同一圓內______和______的倍數關係.

圓周率是表示圓的周長和直徑的關係.
故答案為：周長、直徑.

圓周率表示同一圓內______和______的倍數關係.

圓周率是表示圓的周長和直徑的關係.
故答案為：周長、直徑.

圓周率表示同一個圓內（）和（）的倍數關係，它用字母（）表示，保留兩位小數取近似值是（）.

0

函數f（x）=sinx-cos（x+π 6）的值域為（） A. [-2，2] B. [- 3， 3] C. [-1，1] D. [- 3 2， 3 2]

函數f（x）=sinx-cos（x+π
6）=sinx-
3
2cosx+1
2sinx
=-
3
2cosx+3
2sinx
=
3sin（x-π
6）∈[−
3，
3].
故選B.

函數f（x）=sinx-cos（x+π 6）的值域為（） A. [-2，2] B. [- 3， 3] C. [-1，1] D. [- 3 2， 3 2]

函數f（x）=sinx-cos（x+π
6）=sinx-
3
2cosx+1
2sinx
=-
3
2cosx+3
2sinx
=
3sin（x-π
6）∈[−
3，
3].
故選B.