設橢圓的方程為X平方+Y平方/4=1，過M（0,1）的直線交橢圓於AB兩點，O為座標原點，OP向量=1/2（OA向量+OB向量），當L繞點M旋轉時，求動點P的軌跡方程

設橢圓的方程為X平方+Y平方/4=1，過M（0,1）的直線交橢圓於AB兩點，O為座標原點，OP向量=1/2（OA向量+OB向量），當L繞點M旋轉時，求動點P的軌跡方程

E: x^2+y^2/4 = 1（1）
M（0,1）
OP =（1/2）（OA+OB）
L: passing through M（0,1）
y = mx +c
1= c
ie
L: y = mx +1（2）
Sub（2）into（1）
x^2 +（mx+1）^2/4 =1
4x^2 +（mx+1）^2 = 4
（4+m^2）x^2 + 2mx -3 =0
Let P be（x，y）
then
2x = -2m/（4+m^2）（3）
from（2）
y = mx+1
x =（y-1）/m（4）
Sub（4）into（1）
（y-1）^2/m^2 + y^2/4 = 1
4（y-1）^2 + m^2y^2 = 4m^2
（4+m^2）y^2 - 8y + 4（1-m^2）=0
then
2y = 8/（4+m^2）
4+m^2 = 4/y
m =√[4（1-y）/y]（5）
Sub（5）into（3）
2x = -2m/（4+m^2）
x = -√[4（1-y）/y]/（4/y）
x^2 = [4（1-y）/y] / [4/y]^2
= y（1-y）/4
4x^2 = y（1-y）
P的軌跡方程：
4x^2 = y（1-y）

點M（1,1）位於橢圓4分之X平方+2分之平方=1內，過點M的直線與橢圓交於兩點A，B，且M點為線段AB的中點
求直線AB的方程及絕對值AB的值.

可知直線AB斜率一定存在，設為k
設A B座標分別為（x1，y1）（x2，y2）
故直線方程為y-1=k（x-1）
l聯立橢圓方程得：（2*k^2+1）x^2-（4*k^2-4*k）*x+2*k^2-4*k-2=0
所以x1+x2=（4*k^2-4*k）\（2*k^2+1）
又因為x1+x2=2
所以k=-0.5
根據k的值，你就可以求得直線方程，和AB值

已知直線x+y-1=0與橢圓x平方/a平方+y平方/b平方=1（a>b>0）相交於A、B兩條線，線段AB中點M在直線l:y=1/2x上
1）求橢圓的離心率
2）若橢圓右焦點關於直線l的對稱點在組織圓x平方+y平方=1上，求橢圓方程

設A（x1，y1），B（x2，y2），則（y2-y1）/（x2-x1）＝-1，（y2+y1）/（x2+x1）＝1/2.又x1^2/a^2+y1^2/b^2＝1，x2^2/a^2+y2^2/b^2＝1，兩式相减得（x2-x1）（x2+x1）/a^2+（y2-y1）（y2+y1）/b^2＝0，所以a^2/b^2＝2，即a^ 2＝2b^2，所以c^2＝b^2＝（…

已知橢圓方程為x平方/25+y平方/9=1，過右焦點的直線l與橢圓交於A B兩點，且以AB為直徑的圓過原點，求方程l的方程
我算x1+x2=200k²；/9+25k²；
x1x2=400k²；-225/9+25k²；

橢圓右焦點為：（4,0），設直線方程為：y=K（x-4）
代入橢圓方程，解出x1，x2，y1，y2
（此步略）
解得：x1*x2=（400k²；-225）/（9+25k²；）
y1*y2=-81K²；/（9+25k²；）
因為兩交點和原點同在圓上，
x1²；+y1²；+x2²；+y2²；=（y2-y1）²；+（x2-x1）²；（圓周角為90度，直角三角形，畢氏定理）
x1*x2+y1*y2=0
將上式x1*x2，y1*y2的值代入，解方程：
k=-15/√319或K=15/√319
所以直線I的方程有兩個
y=15/√319（x-4）
y=-15/√319（x-4）