如圖所示，在△ABC中，D為BC的中點，DE⊥BC，交∠BAC的平分線AE於點E，EF⊥AB於點F，EG⊥AC交AC延長線於點G．求證：BF=CG．

如圖所示，在△ABC中，D為BC的中點，DE⊥BC，交∠BAC的平分線AE於點E，EF⊥AB於點F，EG⊥AC交AC延長線於點G．求證：BF=CG．

證明：連線BE、EC，
∵ED⊥BC，
D為BC中點，
∴BE=EC，
∵EF⊥AB EG⊥AG，
且AE平分∠FAG，
∴FE=EG，
在Rt△BFE和Rt△CGE中，

BE＝CE
EF＝EG ，
∴Rt△BFE≌Rt△CGE （HL），
∴BF=CG．

如圖所示，在△ABC中，D為BC的中點，DE⊥BC，交∠BAC的平分線AE於點E，EF⊥AB於點F，EG⊥AC交AC延長線於點G．求證：BF=CG．

證明：連線BE、EC，
∵ED⊥BC，
D為BC中點，
∴BE=EC，
∵EF⊥AB EG⊥AG，
且AE平分∠FAG，
∴FE=EG，
在Rt△BFE和Rt△CGE中，

BE＝CE
EF＝EG ，
∴Rt△BFE≌Rt△CGE （HL），
∴BF=CG．

1）已知：如圖1,三角形ABC是圓O的內接正三角形,點P為弧BC上一動點,求證PA=PB+PC ..

以P為圓心,PB為半徑畫圓,交AP於D,連線BD
則：△PBE為正三角形
即：PD=PB


∵∠ADB=180-60=120º,∠CPB=60+60=120º
∴∠ADB=∠CPB      ①
∵∠BAD=∠BCP（對應同一段圓弧） ②
由①②得：∠ABD=∠CBP    ③
       
∵△ABC是正三角形
∴AB=CB                     ④


綜合②③④得：
∴△ABD≌△CBP（ASA）
∴AD=CP
∴PA=PD+AD=PB+PC 

如圖，P是等邊△ABC外接圓 BC上任意一點，求證：PA=PB+PC．

證明：在PA上擷取PD=PC，∵AB=AC=BC，∴∠APB=∠APC=60°，∴△PCD為等邊三角形，∴∠PCD=∠ACB=60°，CP=CD，∴∠PCD-∠DCB=∠ACB-∠DCB，即∠ACD=∠BCP，在△ACD和△BCP中，AC＝BC ∠ACD＝∠BCP CP＝CD&...

△ABC是⊙O的內接正三角形，P是 BC上一點．探索PA與PB+PC之間的數量關係，並說明理由．

PA=PB+PC．
理由如下：如圖，由圓周角定理得，∠BAE=∠BCP，∠APB=∠ACB=60°，
在PA上擷取PE=BP，則△PBE是等邊三角形，
所以BE=PE=PB，
∵∠AEB=180°-60°=120°，
∠CPB=120°，
∴∠AEB=∠CPB=120°，
∵△ABC是正三角形，
∴AB=BC，
在△ABE和△CBP中，

∠BAE＝∠BCP
∠AEB＝∠CPB
AB＝AC ，
∴△ABE≌△CBP（AAS），
∴AE=PC，
∵PA=AE+PE，
∴PA=PB+PC．

已知三角形ABC為等邊三角形,P為三角形ABC的外接圓上一點,當P在弧BC上時,求證：PA=PB+PC 要有詳細說明

作BD平行於PC,則∠DBC=∠BCP,因為∠BPC=120度,所以∠PBC+∠PCB=60度,所以∠PBC+∠DBC=60度,因為∠ABC=60度,所以∠ABD=∠CBP,因為∠BCP=∠BAP,且AB=BC,所以△ADB≌△BPC,
因為BD=BP（全等）且∠DBP=60度,所以BD=DP,又因為PC=AD,所以AP=AD+DP=BP+PC!這可是目前最簡便的解法了!

如圖，P是等邊△ABC內一點，且PA=6，PC=8，PB=10，D是△ABC外一點，且△ADC≌△APB，求∠APC的度數．

如圖，


連線DP，
∵△ABC是正三角形，
∴∠BAC=60°，
∵△ADC≌△APB，
∴∠DAC=∠PAB，DA=PA，DC=PB，
∵∠PAC+∠BAP=60°，
∴∠PAC+∠CAD=60°，
∴△DAP是正三角形，
∴DP=6，∠DPA=60°；
在△PDC中．
PC=8，DP=6，DC=10，
∵82+62=102，
∴∠DPC=90°，
∴∠APC=∠DPA+∠DPC=60°+90°=150°．

如圖,已知等邊三角形ABC,P為三角形ABC外一點,且角APC等於60度,求證：PA－PC＝PB

在AP上取PD=PC,連結CD,〈DPC=60度,PD=PC,三角形PCD是等邊三角形,CD=PC,AC=BC,〈ACD=〈ACB-〈DCB,〈BCP=〈DCP-〈DCB,〈ACB=〈DCP=60度,〈ACD=〈BCP,△ACD≌△BCP,BP=AD,
∴AP=AD+PD=PC+BP,
即：PA-PC=BP.

在三角形ABC中,邊AB、AC的垂直平分線相交於點P,則PA、PB、PC的關係是? 請把解題過程寫出來

PA=PB=PC
就用 "線段垂直平分線上的點到線段兩端距離相等"
PA=PB,PB=PC

如圖，△ABC的邊AB、AC的垂直平分線相交於點P．連線PB、PC，若∠A=70°，求∠BPC的度數．

連PA，如圖，
∵AB、AC的垂直平分線相交於點P，
∴AP=BP，AP=CP，
∴∠1=∠3，∠2=∠4，
而∠A=70°，
∴∠3+∠4=∠1+∠2=70°，
而∠3+∠5+∠4+∠6=180°-70°=110°，
∴∠5+∠6=110°-70°=40°，
∴∠BPC=180°-∠5-∠6=140°．