下列函數在[1，e]上滿足拉格朗日中值定理條件的是（）A lnlnx B lnx C 1/lnx D ln（2-x）

下列函數在[1，e]上滿足拉格朗日中值定理條件的是（）A lnlnx B lnx C 1/lnx D ln（2-x）

選B
拉格朗日中值定理的的條件是：
（1）在[1，e]上連續（2）在（1，e）上可導
逐個答案看
A.在x=1上無定義，所以在[1，e]不連續，錯
C.同A
D.由於e>2，所以在x屬於（2，e）上無定義，錯
只有B可以符合條件

拉格朗日中值定理當x>0時，ln（1+1/x）>1/（1+x）

設f（x）=lnx
存在y∈（x，x+1）使得
f'（y）=[f（x+1）-f（x）]/（x+1-x）
=ln（x+1）-lnx
=ln（1+1/x）
∵0

當x＞1時，證明：ex＞ex.

為證明當x＞1時，ex＞ex，只需證明ex-ex＞0即可.
令f（x）=ex-ex，則f（1）=0.
因為f′（x）=ex-e，
所以當x＞1時，f′（x）＞0，
從而，f（x）＞f（1）=0，
即：當x＞1時，ex-ex＞0.

證明：當x>1時，有e的x次方大於xe.

證明：
令f（x）=e^x-xe
則
f'（x）=e^x-e>0（x>1）
所以f（x）嚴格增
囙此f（x）≥f（0）=1>0
從而
e^x>ex

e^x＞1+x，x≠0證明不等式

證明：
搆造函數f（x）=e^x-1-x
f（0）=e^0-1-0=0
f'（x）=e^x-1
當x>0時，f'（x）>0，則f（x）遞增
當x

當x＞0時，證明：不等式ex＞1+x+1 2x2成立.

證明：令f（x）＝ex−1−x−1
2x2，
則f'（x）=ex-1-x，
再令g（x）=f'（x），則g'（x）=ex-1，
∵x＞0，∴ex-1＞0，即g'（x）＞0，
∴g（x）在[0，+∞）上為增函數，
由於x＞0，則g（x）＞g（0）=e0-1=0，即f'（x）＞0，
∴f（x）在[0，+∞）上為增函數，
由x＞0知，f（x）＞f（0）＝e0−1−0−1
2×02＝0，
即ex-（1+x+1
2x2）＞0，
∴ex＞1+x+1
2x2，得證.