一元函數積分變數代換問題？ 如果是這種題∫（上限正無窮，下限1）〔1/x√（x-1）〕dx可以用√（x-1）=t來做變數代換 但是這種題∫（上限為正無窮，下限1））〔1/x√（x方-1）〕dx=？需要用x=1/t，而不能也像上題一樣用√（x方-1）=t， 為什麼？

一元函數積分變數代換問題？ 如果是這種題∫（上限正無窮，下限1）〔1/x√（x-1）〕dx可以用√（x-1）=t來做變數代換 但是這種題∫（上限為正無窮，下限1））〔1/x√（x方-1）〕dx=？需要用x=1/t，而不能也像上題一樣用√（x方-1）=t， 為什麼？

這是因為如果用√（x^2-1）=t，最後得出x=√（t^2+1），就會和上面一樣無法積分

∮dx/（√a²+x²) 這是個微積分公式題， ∮是積分符號 =∫secθdθ =ln|secθ+tanθ|+C，tanθ=x/a，斜邊=√（a²+x²) 上一步怎麼轉化到下一步的？

∫1/√（a²+x²) dx，a為任意常數
令x=atanθ,dx=asec²θdθ
=a∫sec²θ/√（a²+a²tan²θ) dθ
=a∫sec²θ/√[a²（1+tan²θ)] dθ
=a∫sec²θ/√（a²sec²θ)dθ
=a∫sec²θ/（asecθ) dθ
=∫secθdθ
=ln|secθ+tanθ|+C，tanθ=x/a，斜邊=√（a²+x²)
=ln|[√（a²+x²)/a+x/a|+C
=ln|[x+√（a²+x²)]/a|+C
=ln|2x+2√（a²+x²)|+C

高等數學微積分 已知a為常實數，y為x的函數，求下麵微分方程的解，y''（x）+2ay'（x）+y（x）=2，滿足y（0）=0，y'（0）=2a.這裡y'和y''分別是x的一階導數和二階導數.

y''+2ay'+y=2
y''+2ay'+（y-2）=0（y-2）''=y''（y-2）'=y'
（y-2）''+2a（y-2）'+（y-2）=0
特徵方程
r^2+2ar+1=0
（r+a）^2=a^2-1
r1=-a+√（a^2-1）r2=-a-√（a^2-1）
通解
y-2=C1e^[-a+√（a^2-1）]x +C2e^[-a-√（a^2-1）]x
y（0）=0
C1+C2+2=0
y'（0）=C1[-a+√（a^2-1）]+C2[-a-√（a^2-1）]=2a
C1=-1
C2=-1
特解y=（-1）e^[-a+√（a^2-1）]x +（-1）[1/√（a^2-1）-1]e^[-a-√（a^2-1）]x +2

求解數學微積分. y''=4x-y'

y''+y'=4x
先解齊次方程
y''+y'=0
令z=y'
z'+z=0
z=Ae^（-x）
y'=Ae^（-x）
積分
y=Ae^（-x）+B
再解非齊次
y''+y'=4x
y=ax^2+bx+c
2a+2ax+b=4x
2a=4,2a+b=0
a=2，b=-4
所以特解為2x^2-4x
所以解y=Ae^（-x）+B+2x^2-4x

以下皆是基本積分問題：  An object is moving with速度velocity（in ft/sec）v（t）=t^2-3t-10. Find the displacement and total distance travelled from t=0 to t=8. 求位移Displacement和距離distance. Evaluate the indefinite integral.求2sin^5（x）cos（x）的積分. Estimate the area under the graph of f（x）=1/（x+2）over the interval [0,5]，using four approximating rectangles and right endpoints. 求Rn和 Repeat the approximation using left endpoints-----Ln. 求4x（x-2）^（1/2）的積分.

（1）位移是對速度的積分，注意，這兩個都是向量，按照適量規則來運算就行了.初始速度為-10，初位移為0，組織就忽略不寫了，v對t的不定積分為2/3·t^3-3/2·t^2-10t + S，左式就是位移的運算式，直接帶入兩個t，做差即為位移.至於距離的話相當於路程，那麼是兩段方向相反運動的位移大小之和，通過速度運算式令其為0得到零速時刻為第五秒時候，所以參攷求位移方法求得兩段運動距離相加即可.
（4）常見的換元法，還原後，讓式子看起來更美好點，令t=（x-2）^（1/2），t大於等於0，原式為4（t^2+2）·t，對其積分得，一個式子，下邊的步驟我就不會了

第一題 ∫f（ax+b）dx=1/a∫f（u）du（a≠0，u=ax+b），請問這個結果是怎麼推算出來的？ 第二題 設∫f（x）dx=Insinx+C，求∫xf（1-x^2）dx

這是第一換元積分法，令u=ax+b，du=adx，dx=1/adu
∫f（ax+b）dx=1/a∫f（u）du
2）令u＝1-x^2，du=-2xdx，xf（1-x^2）dx= -1/2f（u）du
∫xf（1-x^2）dx=1/2∫f（1-x^2）d（x^2）=-1/2∫f（1-x^2）d（1-x^2）=（-1/2）lnsin（1-x^2）+C