如圖，已知CD垂直AB於點D，BE垂直AC於點E，CD交BE於點O. （1）若OC=OB，求證：點O在角BAC平分線上（2）若點o在角BAC的平分線上求證oc=oB

分析：①連接AO.通過全等三角形的判定定理ASA證明△CEO≌△BDO，然後根據全等三角形的對應邊相等知OC=OB；
②由角平分線的性質可得OD=OE，然後證明△DOB≌△EOC，可得證OB=OC.
①連接AO.
∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠CEB=∠BDO=90°；
又∵∠COE=∠BOD（對頂角相等），
∴∠C=∠B（等角的餘角相等）；
∴在△CEO和△BDO中，
∠C=∠B，OC=OB（已知），∠COE=∠EOD ；；；
∴△CEO≌△BDO（ASA），
∴OE=OD（全等三角形的對應邊相等），
∴點O在∠BAC的平分線上；
②證明：∵AO平分∠BAC，CD⊥AB，BE⊥AC，
∴OD=OE，
在△DOB和△EOC中，
∠DOB=∠EOC，OD=OE，∠ODB=∠OEC，
∴△DOB≌△EOC（ASA），
∴OB=OC.

已知三角形ABC中，AB=AC，AD⊥BC於D，DE⊥AC於E，F為DE中點，求證：AF⊥BE

證明：令BE與AD交於M，與AF交於N∵AB=AC AD⊥BC∴BD=CD=1/2BC∵DE⊥AC∴∠C+∠CDE=∠CDE+ADE=90∴∠C=∠ADE又：∠CED=∠ADC=90°，∠C=∠C∴△CDE∽△CAD∴AD/CD=DE/CE∵DE=2DF，CD=1/2BC∴AD/（1/2BC）=（2DF）/CE∴（2AD）/…

在三角形ABC中，AB=AC，AD為BC邊上的高，DE垂直與AC與E，F為ED中點.證明：AF垂直與BE
在三角形ABC中，AB=AC，AD為BC邊上的高，DE垂直與AC與E，F為ED中點.
證明：AF垂直與BE
這道題目應當如何證明，此題無圖，要求自己畫圖，

易知DC/AD=EC/DE
因為D是BC的中點，F是DE的中點
所以BC=2DC，DE=2DF
所以BC/AD=EC/DF
又因為角ADF=角BCE
所以三角形BCE相似於三角形ADF
所以角DAF=角CBE
所以AF垂直與BE

在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，AB的垂直平分線交BC於點M，交AB於點E，AC的垂直平分線交BC於點N，交AC於點F
求證：BM=MN=NC

連接AM，AN.因為AB=AC，∠A=120°，所以，∠B=∠C=30°.因為EM，FN分別是AB，AC的垂直平分線，所以，AM=BM，AN=BN，所以，∠BAM=∠B=30°，∠CAN=∠C=30°，所以，∠MAN=120°-30°-30°=60°.而∠AMN=∠B+∠BAM=30°+ 30°=60°，所…

如圖，在等腰△ABC中，∠ABC=120°，P是底邊上的一個動點，M，N分別是AB，BC的中點，若PM+PN的最小值為2，則△ABC的周長是？
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令O是AC的中點
∵PM+PN的最小值為2
∴OM+ON=2
∵△ABC是等腰三角形，∠ABC=120°
∴AB=BC，
OM=ON=AM=BM=BN=CN=1
∴AB=BC=2
AC²；=AB²；+BC²；-2AB*BC*cos120°
AC=2√3
△ABC的周長：2+2+2√3=4+2√3

三角形ABC中，AB=AC，角BAC=120度，M、N分別為AB、AC的中點，M為底邊BC的一動點，且PM+PN最小值為2，求三
求三角形ABC的周長。

1.應該是P為底邊BC的一動點吧？
2.計算這題的關鍵就是證明點P是底邊BC的中點.
3.做連線MN，則連線MN與底邊BC平行.
4.以底邊BC為對稱軸做點M的對稱點M'，連線M'N與BC交於點P，那麼此時PN+PM最小.（這是小學的一個定理吧，在河L的一側有AB兩個村莊，要在河邊建一個水池C給兩村供水，問C建在那裡，AC+BC才最小，用的就是這個方法）.
5. MM'與BC交於點O，過點P做MN的垂線PQ交MN於點Q.OP=1/2MN，PQ=OM=1/2M M'，說明點P是M'N的中點，Q是MN的中點.則AQ垂直於MN，同理的AP垂直於BC.因為三角形ABC是等腰三角形，所以點P是邊BC的中點.
6.MP=NP=1/2AC=1/2AB=1，則AC=AB=2，BC=2√3.三角形ABC的周長等於4+2√3.

已知在等腰ABC中，AC=2，P是底邊AC上一個動點，M N分別是AB，BC的中點，若PM+PN的最小值為2，試問△ABC是何三角形？請說明理由並求其周長.

等邊三角形.周長為6.
理由：PM+PN要最短，則P點在MN的中垂線上，又交AC於P，所以AP=CP=1，同理可證：AP=NP=1，又MN是三角形的中位線，所以MN=1，所以MPN是等邊三角形，所以

已知：在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直線MN經過點C，且AD⊥MN於D，BE⊥MN於E.求證：①△ADC≌△CEB；②DE=AD-BE.

證明：①∵∠ACB=90°，BE⊥CE，AD⊥CE，∴∠BEC=∠ACB=∠ADC=90°，∴∠ACE+∠BCE=90°，∠BCE+∠CBE=90°，∴∠ACD=∠CBE，在△ADC和△CEB中∠ADC＝∠BEC∠ACD＝∠CBEAC＝BC，∴△ADC≌△CEB（AAS）.②∵△ADC≌…

如圖，在△ABC中，BE、CD分別是∠ABC、∠ACB的平分線，AM、AN分別垂直CD、BE，垂足為M、N求證：MN//BC

延長AM AN交BC的延長線於點P Q
根據CD BE是角平分線及CD垂直AP BE垂直AQ
能得出△AMC≌△PMC△ANB≌△QNB
那麼M N分別是AP AQ的中點
MN為△APQ的中位線
MN//PQ即MN//BC

如圖，BE，CF是△ABC的角平分線，AN⊥BE於N，AM⊥CF於M，求證：MN‖BC.

證明：延長AN、AM分別交BC於點D、G.∵BE為∠ABC的角平分線，BE⊥AG，∴∠BAM=∠BGM，∴△ABG為等腰三角形，∴BM也為等腰三角形的中線，即AM=GM.同理AN=DN，∴MN為△ADG的中位線，∴MN‖BC.

如圖，已知CD垂直AB於點D，BE垂直AC於點E，CD交BE於點O. （1）若OC=OB，求證：點O在角BAC平分線上 （2）若點o在角BAC的平分線上求證oc=oB