如圖，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D為△ABC內一點，∠BAD=15°，AD=AC，CE⊥AD於E，且CE=5． （1）求BC的長； （2）求證：BD=CD．

如圖，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D為△ABC內一點，∠BAD=15°，AD=AC，CE⊥AD於E，且CE=5． （1）求BC的長； （2）求證：BD=CD．

（1） 在△ABC中，
∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠BAC=45°，
∵∠BAD=15°，
∴∠CAD=30°，
∵CE⊥AD，CE=5，
∴AC=10，
∴BC=10；
（2）證明：過D作DF⊥BC於F
在△ADC中，∠CAD=30°，AD=AC，
∴∠ACD=75°，

∵∠ACB=90°，
∴∠FCD=15°，
在△ACE中，∠CAE=30°，CE⊥AD，
∴∠ACE=60°，
∴∠ECD=∠ACD-∠ACE=15°，
∴∠ECD=∠FCD，
∴DF=DE．
∵在Rt△DCE與Rt△DCF中，

DC=DC
DE=DF. ，
∴Rt△DCE≌Rt△DCF（HL），
∴CF=CE=5，
∵BC=10，
∴BF=BC-CF=5，
∴BF=FC，
∵DF⊥BC，
∴BD=CD．

如圖，在△ABC中，AB=AC，AD是高，E在AD上，求證： （1）BD=CD； （2）△BDE≌△CDE； （3）BE=CE．

證明：（1）∵在△ABC中，AB=AC，AD是高，
∴BD=CD（等腰三角形底邊上高與底邊上的中線重合）；
（2）∵AD是高，
∴∠EDB=∠EDC，
在△BDE和△CDE中，

ED＝ED
∠EDB＝∠EDC
BD＝CD ，
∴△BDE≌△CDE（SAS）；
（3）∵△BDE≌△CDE，
∴EB=CE．

如圖在三角形ABC中,AD是它的角平分線,且BD=CD,DE垂直AB,DF垂直AC,垂足分別為E F .求證.EB=Fc

證明：AD是它的角平分線,且BD=CD
根據三線合一逆定理可知,AB=AC
結合等邊對等角 角B=角C
在Rt△BED和Rt△DFC中
角B=角C BD=CD
所以△BED≌△DFC（一邊一銳角對應相等的直角三角形全等）
所以BE=FC

如圖12-3 1-3,在三角形ABC中,AB=AC,BD=BC,AD=DE=EB,求∠A的度數

AB=AC,
∠ABC=∠C=∠2+∠3
BD=BC
∠C=∠BDC==∠2+∠A=∠2+∠3
∠A=∠3
AD=DE=EB
∠A=∠1；∠2=∠BDE；∠1=2∠2
∠A=∠3=2∠2；∠ABC=∠C=∠2+∠3=3∠2
∠ABC+∠C+∠A=5∠2=180
∠2=36
∠A=2∠2=72
∠A=72

如圖，在△ABC中，AB=AC，AD=DE=EB，BD=BC，試求∠A的度數．

設∠A=x，則
∵AD=DE，∴∠AED=∠A=x；
∵DE=BE，∴∠EDB=∠EBD=1
2x；
又∵BD=BC，
∴∠C=∠BDC=∠A+∠EBD=1.5x；
∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=1.5x；
在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=4x=180°，
∴∠A=x=45°．
故答案為：45°．

已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，BC=BD，AD=DE=EB，則∠A的度數是（　　） A. 30° B. 36° C. 45° D. 50°

設∠EBD=x°，
∵BE=DE，
∴∠EDB=∠EBD=x°，
∴∠AED=∠EBD+∠EDB=2x°，
∵AD=DE，
∴∠A=∠AED=2x°，
∴∠BDC=∠A+∠ABD=3x°，
∵BD=BC，
∴∠C=∠BDC=3x°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=3x°，
∵∠A+∠ABC+∠C=180°，
∴2x+3x+3x=180，
解得：x=22.5，
∴∠A=2x°=45°．
故選C．

如圖，在△ABC中，D，E分別是邊AC，BC上的點，若△ADB≌△EDB≌△EDC，則∠C的度數為（　　） A. 30° B. 45° C. 50° D. 60°

∵△ADB≌△EDB≌△EDC，
∴∠A=∠DEB=∠DEC，∠ADB=∠BDE=∠EDC，
∵∠DEB+∠DEC=180°，∠ADB+∠BDE+EDC=180°，
∴∠DEC=90°，∠EDC=60°，
∴∠C=180°-∠DEC-∠EDC，
=180°-90°-60°=30°．
故選A．

在三角形ABC中角C=2角B,AD是三角形ABC的角平分線,角EDB=角B,求證AB=AC+CD 圖大概就是點D在CB上,點E在AB上,連線AD,ED

∠AED=∠EdB+∠B
∠EDB=∠B
∠AED=2∠B,∠C=2∠B
∠AED=∠C,∠CAD=∠DAB
AD=AD
△ACD≌△ADE
AC=AE,
∠EDB=∠B
DE=BE=CD
AB=AE+BE=AC+CD

已知△ABC中，AC=BC，AD平分∠BAC交BC於D，點E為AB上一點，且∠EDB=∠B，現有下列兩個結論：①AB=AD+CD ②AB=AC+CD． （1）如圖1，若∠C=90°，則結論______成立，並證明你的結論． （2）如圖2，若∠C=100°，則結論______成立，並證明你的結論．

（1）∵∠C=90°，AC=BC，
∴∠B=45°，
∵∠EDB=∠B，
∴∠DEB=90°，BE=DE，
∴DE⊥AB，
∵AD平分∠BAC，
∴DE=DC，
在Rt△ACD和Rt△AED中

AD＝AD
DC＝DE ，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AC=AE，
∴AB=AE+BE=AC+CD，所以②正確；
（2）∵∠C=100°，AC=BC，
∴∠B=∠CAB=40°，
∵∠EDB=∠B，
∴∠DEB=100°，BE=DE，
∴∠AED=80°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAE=20°，

∴∠ADE=180°-80°-20°=80°，
∴AD=AE，
過點D作DF⊥AC於點F，作DH⊥AB於點H，
∴DF=DH，
易得△CDF≌△EDH，
∴CD=DE，
∴CD=BE，
∴AB=AE+BE=AD+CD，所以①正確．
故答案為②；①．

如圖，△ABC是等邊三角形，點D、E、F分別是線段AB、BC、CA上的點， （1）若AD=BE=CF，問△DEF是等邊三角形嗎？試證明你的結論； （2）若△DEF是等邊三角形，問AD=BE=CF成立嗎？試證明你的結論．

（1）△DEF是等邊三角形．
證明如下：
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠A=∠B=∠C，AB=BC=CA，
又∵AD=BE=CF，
∴DB=EC=FA，（2分）
∴△ADF≌△BED≌△CFE，（3分）
∴DF=DE=EF，即△DEF是等邊三角形；（4分）
（2）AD=BE=CF成立．
證明如下：
如圖，∵△DEF是等邊三角形，
∴DE=EF=FD，∠FDE=∠DEF=∠EFD=60°，
∴∠1+∠2=120°，
又∵△ABC是等邊三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，
∴∠2+∠3=120°，
∴∠1=∠3，（6分）
同理∠3=∠4，
∴△ADF≌△BED≌△CFE，（7分）
∴AD=BE=CF．（8分）