如圖，△ABC是等邊三角形，點D、E、F分別是線段AB、BC、CA上的點，（1）若AD=BE=CF，問△DEF是等邊三角形嗎？試證明你的結論；（2）若△DEF是等邊三角形，問AD=BE=CF成立嗎？試證明你的結論．

（1）△DEF是等邊三角形．
證明如下：
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠A=∠B=∠C，AB=BC=CA，
又∵AD=BE=CF，
∴DB=EC=FA，（2分）
∴△ADF≌△BED≌△CFE，（3分）
∴DF=DE=EF，即△DEF是等邊三角形；（4分）
（2）AD=BE=CF成立．
證明如下：
如圖，∵△DEF是等邊三角形，
∴DE=EF=FD，∠FDE=∠DEF=∠EFD=60°，
∴∠1+∠2=120°，
又∵△ABC是等邊三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，
∴∠2+∠3=120°，
∴∠1=∠3，（6分）
同理∠3=∠4，
∴△ADF≌△BED≌△CFE，（7分）
∴AD=BE=CF．（8分）

在銳角三角形ABC中,AD,BE,CF分別為三邊上的高,證明三角形ABC的垂心H是三角形DEF的內心

∵∠AHE=∠BHD ,AC垂直於BE ,AD垂直於BC
∴∠CAD=∠EBC
∴sin∠CAD=sin∠EBC
∴CE/BC=CD/AC
∵在△CDE與△CAB中
∠ECD=∠BCA
∴△CDE∽△CAB
∴∠CDE=∠CAB
同理可得∠BDF=∠CAB
∴∠CDE=∠BDF
∴∠ADF=∠ADE
同理可得∠BEF=∠BED ,
∠CFD=∠CFE
∴AD,BE,CF是△DEF的三條角平分線
∴△ABC的垂心H是△DEF的內心

如圖,BE,CF是△ABC的兩條高,G,H分別EF,BC的中點,GH與EF有何位置關係,說明理由

GH⊥EF
證明：連結EH和FH.
BE⊥EC,CF⊥FB.△BEC和△CFB都是直角三角形.∵EH、FH分別是兩個三角形斜邊上的中線.∴EH=FH=1/2BC.
在等腰△EFH中,HG是底邊的中線,根據等腰三角形三線合一可知,HG也是底邊上的高.

如圖,三角形ABC是邊長為a的等邊三角形,P是三角形ABC內的任意一點,過點P作EF‖AB交AC、BC於點E、F,作GH‖BC交AB、AC於G、H,作MN‖AC交AB、BC於M、N,請你猜想EF+GH+NM的值是多少?其值是否隨P點的位置的改變而變化,試說明你猜想的理由. 我要理由因為所以不要網上覆制好的活有分給

∵△ABC是等邊三角形,
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°．
∵GH‖BC,∴∠AGH＝∠B＝60°,∠AHG＝∠C=60°．
∴△AGH是等邊三角形,∴GH=AG=AM+MG ①
同理△BMN是等邊三角形,∴MN＝MB＝MG+GB. ②
∵MN‖AC,EF‖AB,
∴四邊形AMPF是平行四邊形,∴PE＝AM
同理可證四邊形BFPG是平行四邊形,∴PF＝GB．
∴EF=PE+PF＝AM+GB． ③
①+②+③得
EF+GH+MN=AM+GB+MG+GB+AM+MG=2(AM+MG+GB)=2AB=2a．

22．（10分）如圖,直線EF∥GH,點B、A分別在直線EF、GH上,連線AB,在AB左側作三角形ABC, 其中∠ACB= 90°,且∠DAB=∠BAC,直線BD平分∠FBC交直線GH於D．（1）若點C恰在EF上,如圖1,則∠DBA=．（2分）（2）將A點向左移動,其它條件不變,如圖2,則（1）中的結論還成立嗎?若成立,證明你的結論；若不成立,說明你的理由．（6分）（3）若將題目條件“∠ACB= 90°”,改為：“∠ACB= 120°”,其它條件不變,那麼 ∠DBA= _．(直接寫出結果,不必證明)（2分）

（1）45度；（2）成立（3）60度過程與（2）同.

如圖，△ABC是⊙O的內接三角形，直徑GH⊥AB，交AC於D，GH，BC的延長線相交於E．（1）求證：∠OAD=∠E；（2）若OD=1，DE=3，試求⊙O的半徑；（3）當 AGB是什麼型別的弧時，△CED的外心在△CED的外部、內部、一邊上．（只寫結論，不用證明）

（1）證明：連線OB，∵GH⊥AB，∴AG＝BG．∴∠AOG=∠GOB=12∠AOB．∵∠ACB=12∠AOB，∴∠AOG=∠ACB．∴∠AOD=∠DCE．又∠ADO=∠CDE，∴∠OAD=∠E．（2）連線OC，則∠OAD=∠OCA，∵∠OAD=∠E，∴∠OCD=∠E．∵∠DOC=...

已知如圖，△ABC中，AD是∠BAC的平分線，求證：BD：DC=AB：AC．

證明：如圖，過C作AD的平行線交BA的延長線於點E，
∴∠DAC=∠ACE，∠BAD=∠E，
∵AD是∠BAC的平分線，
∴∠BAD=∠DAC．
∴∠ACE=∠E，
∴AC=AE，
∵CE∥AD，
∴BD：DC=BA：AE，
∴BD：DC=AB：AC．

已知如圖，△ABC中，AD是∠BAC的平分線，求證：BD：DC=AB：AC．

用正弦定理證明:如果在三角形ABC中,角A的角平分線AD與邊BC的延長線相交於點D,則用正弦定理證明：如果在三角形ABC中,角A的外角平分線AD與邊BC的延長線相交於點D,則BD比DC=AB比AC,注意是不是外角的平分線

證明：因為角A的外角（角CAE）的平分線AD與邊BC的延長線相交於D
所以角DAE=角CAD
所以sin角CAD=sin角DAE
因為角DAE+角BAD=180度
所以sin角DAE=sin角BAD
所以sin角CAD=sin角BAD
在三角形CAD和三角形BAD中,由正弦定理得：
DC/xin角CAD=AC/sin角ADC
BD/xin角BAD=AB/sin角ADC
所以DC/AC=BD/AB
所以BD/DC=AB/AC

在Δabc中,∠a的外角平分線交bc的延長線於d,用正弦定理證明:ab/ac=bd/dc 圖怎麼畫?

證明：欲證明AB/AC=BD/DC,可證：AB/BD=AC/DC
      由正弦定理可知：AB/BD=sin∠ADC/sin∠BAD            （1）
                      AC/DC=sin∠ADC/sin∠CAD
      又∠CAD=∠1
      所以：          AC/DC=sin∠ADC/sin∠1             （2）
      又∠BAD+∠1=180°
      所以：           sin∠BAD=sin∠1                   （3）
      由(1)(2)(3)知：   AB/BD=AC/DC
      所以：           AB/AC=BD/DC

如圖，△ABC是等邊三角形，點D、E、F分別是線段AB、BC、CA上的點， （1）若AD=BE=CF，問△DEF是等邊三角形嗎？試證明你的結論； （2）若△DEF是等邊三角形，問AD=BE=CF成立嗎？試證明你的結論．